- 古典概型
- 共2558题
同时抛投两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币均正面向上的概率为（ ）
A
B
C
D1
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
同时掷两枚质地均匀的硬币一次，
共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，
两枚硬币都是正面朝上的有一种，
∴两枚硬币都是正面朝上的概率
故选：A．
一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了10枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用在10箱子中各任意抽查的方法来检测，国王能发现至少一枚劣币的概率为______．
正确答案
0.651
解析
解：从10箱中任抽1玫，抽不到劣币的概率是 
那么至少抽到1玫的概率是 1-0.349=0.651，
故答案为 0.651．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”已知a、b的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率．
正确答案
解：（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，
而前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内．
（3）从成绩优秀的9人中任意选出2人共有
其中a，b都没有入选的情况有
∴其中a，b至少有1人入选的情况有36-21=15种，
∴a，b两人至少有1人入选的概率为P=
解析
解：（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴此次测试总人数为
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，
而前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内．
（3）从成绩优秀的9人中任意选出2人共有
其中a，b都没有入选的情况有
∴其中a，b至少有1人入选的情况有36-21=15种，
∴a，b两人至少有1人入选的概率为P=
一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的基本事件数是1000，
而满足条件的事件是两面涂有油漆的小正方形个数
每条棱上有8块，共有12条棱，共有8×12=96块
∴概率为
故选D．
将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数分别记为a，b．
（1）求点P（a，b）落在区域
（2）求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1不相切的概率．
正确答案
满足条件的事件是点落在规定区域，
当a=1时，b=1，2，3，4；
a=2时，b=1，2，3
a=3时，b=1，2；
a=4时，b=1
共有（1，1）（1，2）（4，1）10种情况．
∴P=
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先后两次抛掷一枚骰子，
将得到的点数分别记a，b，则事件总数为6×6=36．
∵直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是
即a2+b2=25，
∵a、b∈{1，2，3，4，5，6}
满足条件的情况只有：a=3，b=4或a=4，b=3两种情况，
∴直线与圆相切的概率P=
∴直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1不相切的概率为P=1-
解析
满足条件的事件是点落在规定区域，
当a=1时，b=1，2，3，4；
a=2时，b=1，2，3
a=3时，b=1，2；
a=4时，b=1
共有（1，1）（1，2）（4，1）10种情况．
∴P=
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是先后两次抛掷一枚骰子，
将得到的点数分别记a，b，则事件总数为6×6=36．
∵直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是
即a2+b2=25，
∵a、b∈{1，2，3，4，5，6}
满足条件的情况只有：a=3，b=4或a=4，b=3两种情况，
∴直线与圆相切的概率P=
∴直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1不相切的概率为P=1-
设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
正确答案
解：由题意知本题是一个古典概型，
设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．
基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．
基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），
（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含9个基本事件，
∴事件A发生的概率为
同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则|a-b|≤1的概率是______．
正确答案
解析
解：同时抛掷两枚骰子共有6×6=36种结果，
其中满足|a-b|≤1有：
（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），（4，5），（5，4），（5，6），（6，5）16种结果，
故|a-b|≤1的概率为：
故答案为：
一只口袋内有大小质量完全相同的5只球，其中2只白球（编号为b1，b2），3只黑球（编号为h1，h2，h3），从中一次摸出2只球．
（1）共有多少个基本事件？列出所有基本事件；
（2）求摸出两只球颜色相同的概率；
（3）求至少有一只黑球的概率．
正确答案
解：（1）共有10 个基本事件，分别为；b1h1，b1h2，b1h3，b2h1，b2h2，b2h3，b1b2，h1h2，h1h3，h23
（2）即摸出两只球颜色相同的概率为事件A，则事件A中包含4 个基本事件，∴P（A）=
答：摸出两只球颜色相同的概率为
（3）摸出两只球颜色至少有一只黑球的事件为B，则事件B中包含49个基本事件，∴P（B）=
答：
摸出两只球颜色至少有一只黑球的概率为：
解析
解：（1）共有10 个基本事件，分别为；b1h1，b1h2，b1h3，b2h1，b2h2，b2h3，b1b2，h1h2，h1h3，h23
（2）即摸出两只球颜色相同的概率为事件A，则事件A中包含4 个基本事件，∴P（A）=
答：摸出两只球颜色相同的概率为
（3）摸出两只球颜色至少有一只黑球的事件为B，则事件B中包含49个基本事件，∴P（B）=
答：
摸出两只球颜色至少有一只黑球的概率为：
两位老师和两位同学站成一排合影，则两位老师至少有一人站在两端的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：2位老师，2位学生站成一排合影，没有任何要求的排列是A44=24种，
每位老师都不站在两端，则两端只能是2名学生站，有A22A22=4种，
根据古典概型的概率公式可得，有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是P=
故两位老师至少有一人站在两端的概率是1-
故选A．
某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：
（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为
正确答案
（Ⅰ） 解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得 
∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意得：
∴35～50岁中被抽取的人数为78-48-10=20．
∴
解析
（Ⅰ） 解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得
∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意得：
∴35～50岁中被抽取的人数为78-48-10=20．
∴
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