- 古典概型
- 共2558题
某学校对教师的年龄及学历状况进行调查，其结果（人数分布）如下表：
（Ⅰ）在35-50岁年龄段的教师中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；
（Ⅱ）若对全体教师按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中50岁以上的有10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄在50岁以上的概率为
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若抽取的N个人中35岁以下的有48人，求x和y的值．
正确答案
解：（Ⅰ）由表中信息，在35～50岁年龄段的教师中本科和研究生学历分别有30人和20人，用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，则被抽取到的5人中，3人的学历为本科，2人的学历为研究生．
分别记作A1，A2，A3和B1、B2
从中任取2人的基本事件有：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A1，A2）、（A2，A3）、（A1，A3）、（A3，B1）、（B1，B2），共10个
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A3，B1）、（B1，B2）∴至少有1人的学历为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意，得
解得N=78
∵按年龄分层抽取78人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人．
∴
解析
解：（Ⅰ）由表中信息，在35～50岁年龄段的教师中本科和研究生学历分别有30人和20人，用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，则被抽取到的5人中，3人的学历为本科，2人的学历为研究生．
分别记作A1，A2，A3和B1、B2
从中任取2人的基本事件有：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A1，A2）、（A2，A3）、（A1，A3）、（A3，B1）、（B1，B2），共10个
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（A1，B1）、（A1，B2）、
（A2，B1）、（A2，B2）、（A3，B2）、（A3，B1）、（B1，B2）∴至少有1人的学历为研究生的概率为
（Ⅱ）解：依题意，得
解得N=78
∵按年龄分层抽取78人，其中35岁以下的有48人，50岁以上的有10人．
∴
先后抛掷两枚均匀的骰子，骰子朝上的点数分别为m，n，则满足log2mn=1的概率是______．
正确答案
解析
解：根据题意，可得m的情况有6种，n的情况也有6种，
则骰子朝上的点数分别为m、n的情况数目有6×6=36种，
若log2mn=1，则n=2m，其情况有1、2，2、4，3、6，共3种，
则满足log2mn=1的概率是
故答案为
（1）求图中a的值，并估计此次考试成绩的中位数（结果保留一位小数）；
（2）在第2、4小组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行面试，求至少有一人来自第2小组的概率．
正确答案
解：（1）由（0.01+0.02+a+0.06+0.07）×5=1，
得：a=0.04，
设此次考试成绩中位数的估计值为x：则0.05+0.2+（x-85）×0.07=0.5，
得x≈88.6；
（2）由频率分布直方图知：第2、5小组中的人数分别为20，30，
∴从第2、4小组中抽取的人数分别为2，3，分别设为a，b和c，d，e，
这5人中随机选取2人所有基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），
（c，e），（d，e）共10个，
其中至少有一个来自第2小组的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），
（b，c），（b，d），（b，e） 共7个．
故至少有一人来自第2小组的概率
解析
解：（1）由（0.01+0.02+a+0.06+0.07）×5=1，
得：a=0.04，
设此次考试成绩中位数的估计值为x：则0.05+0.2+（x-85）×0.07=0.5，
得x≈88.6；
（2）由频率分布直方图知：第2、5小组中的人数分别为20，30，
∴从第2、4小组中抽取的人数分别为2，3，分别设为a，b和c，d，e，
这5人中随机选取2人所有基本事件为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），
（c，e），（d，e）共10个，
其中至少有一个来自第2小组的基本事件为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），
（b，c），（b，d），（b，e） 共7个．
故至少有一人来自第2小组的概率
为了更好的开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表（单位：人）
（1）求a，b，c的值；
（2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团的概率．
正确答案
解：（1）由表可知抽取比例为 
（2）设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2．则从中任选
2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4），（A1，B1），
（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，（8分）
其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），
（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8个，（10分）
所以这2人分别来自这两个社团的概率P=
解析
解：（1）由表可知抽取比例为
（2）设“动漫”4人分别为：A1，A2，A3，A4；“话剧”2人分别为：B1，B2．则从中任选
2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4），（A1，B1），
（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，（8分）
其中2人分别来自这两个社团的基本事件为：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），
（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8个，（10分）
所以这2人分别来自这两个社团的概率P=
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以1，2，3，4，5，6）．连续抛掷2次，则2次向上的数之和不小于10的概率为 ______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是每次抛掷一枚骰子，连续抛掷2次，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是2次向上的数之和不小于10，可以列举出所有的事件，
（6，6）（6，5）（6，4）（5，6）（5，5）（4，6）共有6种结果，
∴2次向上的数之和不小于10的概率为P=
故答案为：
（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；
（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人进行面试，求95分（包括95分）以上的同学在同一个小组的概率．
正确答案
∴总人数为：5×60=300，
由直方图可知，
第五组人数为：0.02×5×300=30人，
又∵
∴第一组人数为：45人，
第二组人数为：75人，
第三组人数为：90人．
∴第1至第4组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20．
如图可补全频率分布直方图．
（Ⅱ）第四组中抽取人数：
第五组中抽取人数：
∴95分以上的共2人．
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，
第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组有4种可能结果，
情况二：B1，B2不在同一小组有6种可能结果，
总共10种可能结果，
∴两人在一组的概率为
解析
∴总人数为：5×60=300，
由直方图可知，
第五组人数为：0.02×5×300=30人，
又∵
∴第一组人数为：45人，
第二组人数为：75人，
第三组人数为：90人．
∴第1至第4组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20．
如图可补全频率分布直方图．
（Ⅱ）第四组中抽取人数：
第五组中抽取人数：
∴95分以上的共2人．
设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，
第五组抽取的2人为B1，B2，
这六人分成两组有两种情况，
情况一：B1，B2在同一小组有4种可能结果，
情况二：B1，B2不在同一小组有6种可能结果，
总共10种可能结果，
∴两人在一组的概率为
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
（Ⅰ）求这15名乘客的平均候车时间；
（Ⅱ）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（Ⅲ）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由图表得：
所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
（Ⅲ）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为e，f，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．
所得基本事件共有15种，即（ac），（ab），（ad），（ae），（af），（bc），（bd），（be），（bf），（cd），（ce），（cf），（de），（df），（ef），
抽到的两人恰好来自不同组的事件共8种，分别是（ae），（af），（be），（bf），（ce），（cf），（df），（df）．
其中事件A包含基本事件8种，由古典概型可得
解析
解：（Ⅰ）由图表得：
所以这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟．
（Ⅱ）由图表得：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于
（Ⅲ）设第三组的乘客为a，b，c，d，第四组的乘客为e，f，“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件A．
所得基本事件共有15种，即（ac），（ab），（ad），（ae），（af），（bc），（bd），（be），（bf），（cd），（ce），（cf），（de），（df），（ef），
抽到的两人恰好来自不同组的事件共8种，分别是（ae），（af），（be），（bf），（ce），（cf），（df），（df）．
其中事件A包含基本事件8种，由古典概型可得
现有编号分别为1，2，3的三个不同的政治基本题和一道政治附加题，另有编号分别为4，5的两个不同的历史基本题和一道历史附加题．甲同学从这五个基本题中一次随即抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的．
（I）用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且x＜y”共有多少个基本事件？请列举出来．
（II）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率．
（III）甲同学在抽完两道题基本题之后又抽取一道附加题，求他抽到两道政治基本题和一道历史附加题的概率．
正确答案
解：（I）共有10个等可能性的基本事件，列举如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，3），（2，4），（2，5）（3，4），（3，5），（4，5）．
（II）由题意知本题是一个古典概型，
记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A
试验发生包含的事件数是10，
满足条件的事件由（1）可知事件共含有7个基本事件，
列举如下：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4）
∴
（III）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件由列举法共有20个等可能性的基本事件，
满足条件的有3个基本事件符合抽到两道政治基本题和一道历史附加题，
∴概率为
解析
解：（I）共有10个等可能性的基本事件，列举如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，3），（2，4），（2，5）（3，4），（3，5），（4，5）．
（II）由题意知本题是一个古典概型，
记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A
试验发生包含的事件数是10，
满足条件的事件由（1）可知事件共含有7个基本事件，
列举如下：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4）
∴
（III）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件由列举法共有20个等可能性的基本事件，
满足条件的有3个基本事件符合抽到两道政治基本题和一道历史附加题，
∴概率为
某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是 ______．（结果用最简分数表示）
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生所包含的事件是从40人中选三个，共有C403种结果，
而满足条件的是有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中，共有C381
根据古典概型概率公式得到概率是
先后抛掷一枚硬币三次，
（1）写出所有的基本事件；
（2）求三次恰有两次是正面向上的概率；
（3）求三次正面向上的次数多于反面向上的次数的概率．
正确答案
解：（1）先后抛掷一枚硬币三次，所有的基本事件有（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正）、（反，反，正）、
（反，正，反）、（正，反，反）、（反，反，反），共计8个．
（2）三次恰有两次是正面的基本事件有3个，分别为（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正），共3个，
故三次恰有两次是正面向上的概率为 
（3）三次正面向上的次数多于反面向上的次数的基本事件有（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正），共有4个，
三次正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为 
解析
解：（1）先后抛掷一枚硬币三次，所有的基本事件有（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正）、（反，反，正）、
（反，正，反）、（正，反，反）、（反，反，反），共计8个．
（2）三次恰有两次是正面的基本事件有3个，分别为（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正），共3个，
故三次恰有两次是正面向上的概率为
（3）三次正面向上的次数多于反面向上的次数的基本事件有（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（反，正，正），共有4个，
三次正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为
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