- 古典概型
- 共2558题
一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b、c．若方程x2-bx-c=0至少有一根a∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，方程为“漂亮方程”的概率为______．
正确答案
解析
解：（Ⅱ）①若方程一根为x=1，则1-b-c=0，即b+c=1，不成立．
②若方程一根为x=2，则4-2b-c=0，即2b+c=4，所以，
③若方程一根为x=3，则9-3b-c=0，即3b+c=9，所以，
④若方程一根为x=4，则16-4b-c=0，即4b+c=16，所以，
综合①②③④知，（b，c）的所有可能取值为（1，2）、（2，3）、（3，4），
所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率p=
故答案为 
某公司生产A，B，C三款手机，每款均有标准型和豪华型两种型号，某月的产量如表所示（单位：台）．
按款分层抽样的方法在本月生产的手机中抽取50台，其中A款抽到了10台．
（1）求z；
（2）用分层抽样的方法在C款中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2台，求至少有一台标准型手机的概率；
（3）用随机抽样的方法从B款手机中抽取8台检测性能，经检测它们的评分如下：9.4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2．把这8台手机的评分看成一个整体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．
正确答案
解：（1）抽取的轿车中，C款手机的数量为50-10-15=25，则
（2）设所抽样本中有m台标准型手机，豪华型，
因为用分层抽样的方法在C款手机中抽取一个容量为5的样本，
所以
也就是抽取了2台标准型手机，3台豪华型手机，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，
则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），
（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，
其中至少有一台标准型手机的基本事件有7个基本事件：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），
所以从中任取2辆，至少有一台标准型手机的概率为
（3）样本的平均数为
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
解析
解：（1）抽取的轿车中，C款手机的数量为50-10-15=25，则
（2）设所抽样本中有m台标准型手机，豪华型，
因为用分层抽样的方法在C款手机中抽取一个容量为5的样本，
所以
也就是抽取了2台标准型手机，3台豪华型手机，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，
则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），
（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，
其中至少有一台标准型手机的基本事件有7个基本事件：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）
（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），
所以从中任取2辆，至少有一台标准型手机的概率为
（3）样本的平均数为
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0这6个数，总的个数为8，
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为
下列随机试验的数学模型属于古典概型的是（ ）
正确答案
解析
解：由古典概型的特征：有限性和等可能性知，
选项A、C不符合等可能性，选项B不符合有限性，
故选D．
端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均-切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子．请你为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率：______．
正确答案
解析
解：
∴P（两只都为红枣馅）=
故答案为：
（2015•澄海区校级模拟）如图
A
B
C
D
正确答案
解析
解：从9个数中任取3个数共有C93=84种取法，三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为
故选D．
袋中有3只白球和a只黑球，从中任取2只，恰好一白一黑的概率为
正确答案
4
解析
解：∵从中任取2只，总的情况有C3+a2=
恰好一白一黑的情况有3a种，∴恰好一白一黑的概率为
又∵恰好一白一黑的概率为
∴a=4或
∵a∈N，，∴a=4
故答案为4
（2015秋•廊坊校级月考）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，
在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C43×
在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C43×2=8种情况，
则这个三位数是“凹数”的概率是
故选：C．
从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从{1，2，3}中随机选取一个数b，则关于x的方程x2+ax+b2=0有两个不相等的实根的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：a是从集合{1，2，3，4，5}中随机抽取的一个数，共有5种情况，
b是从集合{1，2，3}中随机抽取的一个数，共有3种情况，
∴方程x2+ax+b2=0共有3×5=15种情况，
若方程x2+ax+b2=0有两个不相等的实根，则△=a2-4b2＞0，即a＞2b，
此时有（3，1），（4，1），（5，1），（5，2）共4种情况；
则方程x2+2ax+b2=0有实根的概率P=
故选：D
甲、乙两名同学各自等可能地从数学、物理、化学、生物四个兴趣小组中选择一个小组参加活动，则他们选择相同小组的概率为______．
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数是4×4=16种结果，
满足条件的事件是这两位同学参加同一个小组，
由于共有四个小组，则有4种结果，
根据古典概型概率公式得到P=
故答案为：
（Ⅰ）求各班被抽取的学生人数分别为多少人？
（Ⅱ）在抽取的所有学生中，任取一人，求分数不小于90分的概率．
（Ⅲ）在120～130分的甲、乙等5人中，随机抽取3人参加高一数学竞赛．求恰好含有甲乙中一人的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，抽取的学生总数为：
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d，
由4×22+6d=100，得d=2．
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．
（Ⅱ）在抽取的学生中，任取一人，其分数不小于9（分）的概率为：
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75；
（Ⅲ）设120～130分的有甲、乙、丙、丁、戊5人，
抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），一共有6个，
从5人中抽取3人的全部事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），一共有10个，
所以恰好含有甲乙中一人的概率为：
解析
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，抽取的学生总数为：
∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d，
由4×22+6d=100，得d=2．
∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人．
（Ⅱ）在抽取的学生中，任取一人，其分数不小于9（分）的概率为：
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75；
（Ⅲ）设120～130分的有甲、乙、丙、丁、戊5人，
抽取的3人中恰好含有甲乙中一人的事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），一共有6个，
从5人中抽取3人的全部事件有：
（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），
（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），一共有10个，
所以恰好含有甲乙中一人的概率为：
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