- 古典概型
- 共2558题
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为（x-2，x-y）．
（1）求|OP|的最大值；
（2）求|OP|取得最大值时的概率．
正确答案
（1）∵x、y可能的取值为1、2、3，∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴|OP|=
（2）有放回抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，而由（1）可知：取得最大值时只有两种情况：x=1，y=3，或x=3，y=1．
∴|OP|取得最大值时的概率P=
将一颗骰子投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax-by=0与圆（x-2）2+y2=2相交的概率为______．
正确答案
∵直线ax-by=0与圆（x-2）2+y2=2相交，∴圆心到直线的距离
即a＜b
∵设一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个
其中a＜b的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共5+4+3+2+1=15个，
又由（1，2）（2，4）（3，6）算同一条直线
（1，3）（2，6）算同一条直线
（2，3）（4，6）算同一条直线
则共有11条直线；
∴直线ax-by=0与圆（x-2）2+y2=2相交的概率为P=
故答案为
某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆
正确答案
由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果
满足条件的事件是e=
当b=2时，有a=5，6两种情况，
总共有6种情况．
∴概率为
故答案为：
若m∈{-2，-1，1，2}，n∈{-2，-1，1，2，3}，则方程
正确答案
由题意，方程
m＞0，n＜0时，有2×2=4种，m＜0，n＞0时，有2×3=6种
∵m，n的取值共有4×5=20种
∴方程
故答案为：
已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是 ______．
正确答案
解析：由题意知m=
若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一个值的结果有9种结果，记“使得双曲线的离心率大于3”为事件A，则A包含的结果有3，4，5，6，7，8，9共7中结果
由古典概率的计算公式可得：P（A）=
答案：
随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3000名学生的体重发育评价情况，得下表：
已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．
（1）求x的值；
（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？
（3）已知y≥243，z≥243，肥胖学生中男生不少于女生的概率．
正确答案
（1）由题意由从这批学生中随机抽取1名学生，
抽到偏瘦男生的概率为0.15，
可知，
∴x=450（人）； …（3分）
（2）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=500（人）．
设应在肥胖学生中抽取m人，
则
∴m=10（人）
答：应在肥胖学生中抽10名． …（6分）
（3）由题意可知，y+z=500，且y≥243，z≥243，满足条件的基本事件共有：
（y，z）有（243，257），（244，256），…，（257，243），共有15组．
设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，
满足条件的（y，z）的基本事件有：
（243，257），（244，256），…，（250，250），共有8组，
所以P(A)=
答：肥胖学生中女生少于男生的概率为
某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如下表：
已知在全校学生中随机抽取l名，抽到七年级女生的概率是0.17．
（I）求a的值；
（II）现用分层抽样的方法在全校抽取200名学生，问应在九年级抽取多少名学生？
（III）已知175≤b≤183，求九年级中女生不少于男生的概率．
正确答案
解（Ⅰ）由题意，得a=1200×0.17=204；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知条件，得
七年级共有学生：204+198=402（名）．
八年级共有学生：216+222=438（名）．
所以九年级共有学生：1200-402-438=360（名）．
所以应在九年级抽取学生数：360×
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知九年级共有学生360名．
则九年级中女生人数及男生人数的所有可能结果为：
（175，185），（176，184），（177，183），（178，182），（179，181），（180，180），（181，179），
（182，178），（183，177）共9中．
其中女生不少于男生的可能结果为：（180，180），（181，179），（182，178），（183，177）共4种．
所以九年级中女生不少于男生的概率为：P=
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如表所示：
（Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？
（Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．
正确答案
（I）在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人．
故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取
（II）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为a，b，若从5人中任取2名观众记作（x，y），…（6分）
则包含的总的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b）共10个．…（8分）
其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）共6个．…（10分）
故P（“恰有1名观众的年龄为20至40岁”）=
某班学生中喜爱看综艺类节目的有18人，体育类节目的有27人，时政类节目的有9人，现采取分层抽样的方法从这些学生中抽取6名学生．
（I）求应从喜爱看综艺类节目、体育类节目、时政类节目的学生中抽取的人数；
（Ⅱ）若从抽取的6名学生中随机抽取2人分作一组，
（i）列出所有可能的分组结果：
（ii）求抽取的2人中有1人喜爱看综艺类节目1人喜爱看体育类节目的概率．
正确答案
（Ⅰ）样本容量与总容量的比为6：（18+27+9）=1：9，
则应从喜爱看综艺类节目、体育类节目、时政类节目的学生中抽取的人数应为2，3，1；
（Ⅱ）（i）将喜爱看综艺类节目2人记为A1、A2，
喜爱看体育类节目3人记为B1、B2、B3，喜爱看时政类节目1人记为C，
则从抽取的6名学生中随机抽取2人的所有情况为：
（A1、A2），（A1、B1），（A1、B2），（A1、B3），（A1、C）
（A2、B1），（A2、B2），（A2、B3），（A2、C），（B1、B2），
（B1、B3），（B1、C），（B2、B3），（B2、C），（B3、C）共15种，
（ii）将“抽取的2人中有1人喜爱看综艺类节目1人喜爱看体育类节目”记为事件D，
则事件D包括6种基本情况为：
（A1、B1），（A1、B2），（A1、B3），（A2、B1），（A2、B2），（A2、B3）
∴P（D）=
为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个区中抽取6个工厂进行调查．已知A、B、C区中分别有18，27，9个工厂．
（1）求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的6个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，求这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
正确答案
（1）工厂总数为18+27+9=54，样本容量与总体中的个体数的比为
（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1为在C区中抽得的1个工厂．在这6个工厂中随机地抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区（记为事件X）的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1）共9种．所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P（X）=
答：（1）从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，1．（2）这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为
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