- 古典概型
- 共2558题
某班同学利用寒假进行社会实践活动，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在[40，50）的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率．
正确答案
（1）第一组的人数为 
由题可知，第二组的频率为 1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以 p=
第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60．
频率直方图如下：
（2）∵[40，45）岁年龄段的“低碳族”与[45，50）岁年龄段的“低碳族”的比值为60：30=2：1，
所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45）岁中有4人，[45，50）岁中有2人．
设[40，45）岁中的4人为a、b、c、d，[45，50）岁中的2人为m、n，则选取2人作为领队的有
（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，m）、（a，n）、（b，c）、（b，d）、（b，m）、
（b，n）、（c，d）、（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n）、（m，n），共15种；
其中恰有1人年龄在[40，45）岁的有（a，m）、（a，n）、（b，m）、（b，n）、
（c，m）、（c，n）、（d，m）、（d，n），共8种．
∴选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45）岁的概率为P=
现有7名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
正确答案
（Ⅰ）从7人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），
（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A，2，B2，C1），（A2，B2，C2），
（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2）}，
由12个基本事件组成，它们的发生时等可能的．用M表示“A1被选中”，
则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2）}共4个位基本事件，
故P（M）=
（Ⅱ）用N表示“B1和C1不全被选中”，则其对立事件
由于
故P（
为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
正确答案
（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为
再结合频率分布直方图可知n=
∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，
x=
（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：
（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．
则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，
其中恰好没有第3组人共3个基本事件，
∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：P=
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A、B、C三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个工作小组抽取5名工作人员来完成．
（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有A组工作人员的概率．
正确答案
（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本空量与总体中个体数的比为
所以从A、B、C三个工作组分别抽取的人数为2、2、1 …（6分）
（II）设A1，A2为从A组抽得的2名工作人员，B1，B2为从B组抽得的工作人员，C1为从C组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，
其所有可能的结果是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
共有10种，其中没有A组工作人员的结果有3种，所以所求的概率P=
《国家中长期教育改革和发展规划纲要》下设A、B、C三个工作组，其分别有组员36，36，18人，现在意见稿已公布，并向社会公开征求意见，为搜集所征求的意见，拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个工作小组抽取5名工作人员来完成．
（Ⅰ）求从三个工作组分别抽取的人数；
（Ⅱ）搜集意见结束后，若从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，求这两名工作人员没有A组工作人员的概率．
正确答案
（I）三个工作组的总人数为36+36+18=90，样本空量与总体中个体数的比为
所以从A、B、C三个工作组分别抽取的人数为2、2、1 …（6分）
（II）设A1，A2为从A组抽得的2名工作人员，B1，B2为从B组抽得的工作人员，C1为从C组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，
其所有可能的结果是：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
共有10种，其中没有A组工作人员的结果有3种，所以所求的概率P=
口袋中有5个大小相同的小球，其中1个小球标有数字“3”，2个小球标有数字“2”，2个小球标有数字“1”，每次从中任取一个小球，取后不放回，连续抽取两次．
（I）求两次取出的小球所标数字不同的概率；
（II）记两次取出的小球所标数字之和为X，求事件“X≥4”的概率．
正确答案
记2个标有数字“2”得小球分别为2a，2b，2个标有数字“1”得小球分别为1a，1b，
列举可得总的取法有（1a，1b），（1b，1a），（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），
（1b，2b），（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），
（2a，3），（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共20种
（I）两次取出的小球所标数字不同的取法有（1a，2a），（1a，2b），（1b，2a），（1b，2b），
（1a，3），（1b，3），（2a，1a），（2a，1b），（2b，1a），（2b，1b），（2a，3），（2b，3），
（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共16种，
所以两次取出的小球所标数字不同的概率为P1=
（II）两次取出的小球所标数字之和大于等于4的有（1a，3），（1b，3），（2a，3），
（2b，3），（2a，2b），（2b，2a），（3，1a），（3，1b），（3，2a），（3，2b），共10种，
所以概率为P2=
某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本的平均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
正确答案
（1）平均数为
（2）解法一：将六名工人编号，ABCDEF，其中EF表示优秀工人，从6件产品中选2件，
其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（AE）（AF）（BC）（BD）（BE）（BF）（CD）（CE）（CF）（DE）（DF）（EF）共有15种，--（8分）
事件A表示2名工人中恰有1名优秀工人，事件A的基本事件为（AE）（AF）（BE）（BF）（CE）（CF）（DE）（DF）共8种，则P（A）=
答：2名工人中恰有1名优秀工人的概率为
解法二：试验的所有结果共有
事件A表示2名工人中恰有1名优秀工人，事件A的结果共有
答：2名工人中恰有1名优秀工人的概率为
袋中装有5个均匀的红球和白球，其中红球4个，白球1个．
（1）从袋中不放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？
（2）从袋中有放回地摸出两个球，则摸到白球的概率是多少？
正确答案
记事件A为摸到白球；
（1）从袋中不放回地摸出两个球，其方法共有5×4中，
其中摸到白球的方法包括：第一次摸到的是一个红球，第二次摸到的是一个白球；第一次摸到的是一个白球，第二次摸到的是一个红球；
因此P（A）=
（2）从袋中有放回地摸出两个球，其方法共有5×5，
∴P（A）=1-P(
已知抛掷一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率为
（Ⅰ）求抛掷这样的硬币三次，恰有两次正面朝上的概率；
（Ⅱ）抛掷这样的硬币三次后，抛掷一枚质地均匀的硬币一次，记四次抛掷后正面朝上的总次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ．
正确答案
甲乙两人轮流抛掷一枚正方体骰子（6个面分别标有1，2，3，4，5，6）各一次，将向上面上的点数分别记为a，b，点数差记为ξ=|a-b|
（1）游戏约定：若ξ≤2，则甲获胜；否则乙获胜．这样的约定是否公平，为什么？
（2）求关于x的方程kx2-ξx-1=0（k∈N*）在（2，3）上有且仅有一个根的概率．
正确答案
（1）不公平．
由题知，
（2）
扫码查看完整答案与解析