- 古典概型
- 共2558题
某医院有两个技术骨干小组，甲组有6名男医生，4名女医生；乙组有2名男医生，3名女医生，现采用分层抽样的方法，从甲、乙两组中抽取3名医生进行医疗下乡服务．
（1）求甲、乙两组中各抽取的人数；
（2）求抽取的3人都是男医生的概率．
正确答案
（1）依题意每组抽取的比例为
所以从甲组中抽取了（6+4）×
从乙组中抽取了（2+3）×
（2）抽取的3人都是男医生的概率为：
p=
=
为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中x，y处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分．
（Ⅰ）求x和y的值；
（Ⅱ）现从成绩在[90，100]之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．
正确答案
（1）根据题意，甲同学成绩的中位数为83，则x=3，
乙同学成绩的平均分为86，
则有
解可得y=1；
（2）由（1）可得，甲同学成绩在[90，100]之间的试卷有2份，记为a、b，
乙同学成绩在[90，100]之间的试卷有2份，记为c、d、e，
从两人成绩在[90，100]之间的5份试卷中任取2份，
其情况有（a、b）、（a、c）、（a、d）、（a、e）、（b、c）、（b、d）、（b、e）、（c、d）、（c、e）、（d、e），
共10种情况；
记“恰抽到一份甲同学试卷”为事件A，
则A包括（a、c）、（a、d）、（a、e）、（b、c）、（b、d）、（b、e），共6种情况，
则P（A）=
故恰抽到一份甲同学试卷的概率为
某中学为了进一步提高教师的教育教学水平和班级管理能力，于2010年初在校长办公室设立了学生意见投诉箱，接收学生的投诉．经过一段时间统计发现，某个班级在一个月内被投诉的次数ξ的概率分布情况如下表：
（Ⅰ）求x的值及投诉次数ξ的数学期望Eξ；
（Ⅱ）假设在今后一段时间内任意两个月班级被投诉的次数互不影响，求上述班级在2010年12月及2011年元月连续两个月内共被投诉两次的概率．
正确答案
（Ⅰ）由离散型随机变量的分布列的性质知：0.1+0.3+2x+x=1，
∴x=0.2
∴P（ξ=2）=0.4，P（ξ=3）=0.2，
∴Eξ=0.1×0+0.3×1+0.4×2+0.2×3=1.7
（Ⅱ）设该班2010年12月被投诉的次数为a，2011年元月被投诉的次数为b，且这两个月共被投诉两次的概率为P，
则P=P（a=2，b=0）+P（a=1，b=1）+P（a=0，b=2）=0.4×0.1+0.3×0.3+0.1×0.4=0.17
将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：
（1）两数之和为7的概率；
（2）两数之积是6的倍数的概率．
（3）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y，求点（x，y）满足|x-y|=4的概率．
正确答案
（1）此问题中含有36个等可能基本事件，两数之和为7的基本事件有6个
则两数之和为7的概率为
（2）此问题中含有36个等可能基本事件，记“向上的两数之积是6的倍数”为事件A，
则由下面的列表可知，事件A中含有其中的15个等可能基本事件，
所以P（A）=
（3）记“点（x，y）满足|x-y|=3”为事件B，则事件B中含有其中的6个等可能基本事件，
P(B)=
答：两数之和为7的概率为
一个盒子里有2个白球、3个黄球、4个黑球．现从这个盒子里摸球，摸一个白球得3分，摸一个黄球得2分，摸一个黑球得1分．
（1）若一次摸三个球，得6分有多少种不同的摸法？
（2）若一次摸一个球，摸后不放回，求连摸3次得6分的概率；
（3）若一次摸一个球，摸后不放回，求连摸3次得分高于6分的概率．
正确答案
（1）由题意可得一次摸三个球，得6分共2类不同的摸法，
即①3个黄球；②白黄黑球各1个，
故共有方法：1+2×3×4=25；
（2）共7类不同的摸法，3次摸得的球可以是：①黄黄黄②黑黄白③黑白黄④白黑黄⑤白黄黑⑥黄黑白⑦黄白黑．
故连摸3次得6分包含的基本事件数为3×2×1+2×3×4×6=150，
由计数原理可得基本事件总数为：9×8×7=504，
∴所求的概率为：
（3）共可分3类：①2白1黄，包含的基本事件数为：2×1×3×3=18；
②1白2黄，包含的基本事件数为：2×3×2×3=36；
③2白1黑，包含的基本事件数为：2×1×4×3=24；
∴所求事件的概率为：
某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动，准备了5张标有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，规定通过游戏来决定抽奖机会，每个获得抽奖机会的同学，一次从中任意抽取2张卡片，两个卡片中的数字之和为5时获一等奖，两个卡片中的数字之和能被3整除时获二等奖，其余情况均没有奖．
（1）共有几个一等奖？几个二等奖？
（2）求从中任意抽取2张，获得一等奖的概率；
（3）一名同学获得两次抽奖机会，求①获得一个一等奖和一个二等奖的概率：②两次中至少一次获奖的概率．
正确答案
（1）从5张卡片中任取两张，共有10种情况，分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），一等奖2个为（1，4），（2，3），二等奖4个为（1，2），
（1，5），（2，4），（4，5）．
（2）从中任意抽取2张，获得一等奖的概率P=
（3）一名同学获得两次抽奖机会，
①获得一个一等奖和一个二等奖的概率P1=
②两次均没获奖的概率P0=
两次中至少一次获奖的概率为1-P0=
某市地铁全线共有四个车站，甲乙两人同时在地铁第一号车站（首发站）乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对（x，y）表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
（1）用有序实数对把甲乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
（2）求甲乙两人同在第3号车站下车的概率；
（3）求甲乙两人在不同的车站下车的概率．
正确答案
（1）甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4）
（2）设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则 P(A)=
（3）设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)=1-3×
一个盒子中装有大小相同的2个红球和n个白球，从中任取2个球．
（Ⅰ）若n=5，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率；
（Ⅱ）若取到的2个球中至少有1个红球的概率为
正确答案
（Ⅰ）记“取到的2个球恰好是一个红球和一个白球”为事件A．…（1分）
∴P(A)=
（Ⅱ）记“取到的2个球中至少有1个红球”为事件B，…（5分）
由题意，得P(B)=1-P(
化简得3n2-11n-4=0，…（9分）
解得n=4，或n=-
故n=4．…（11分）
答：（1）若n=5，取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率为
（2）n=4．…（12分）
a、b是常数，关于x的一元二次方程x2+(a+b)x+3+
（1）若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求P（A）；
（2）若a∈R、b∈R，-6≤a≤6且-6≤b≤6，求P（A）．
正确答案
（1）方程有实数解，（a+b）2-4（3+
即a2+b2≥12…（1分）
依题意，a=1、2、3、4、5、6，b=1、2、3、4、5、6，
所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…（2分）
当且仅当“a=1且b=1、2、3”，或“a=2且b=1、2”，
或“a=3且b=1”时，a2+b2≥12不成立…（5分），
所以满足a2+b2≥12的结果有36-（3+2+1）=30种…（6分），
从而P（A）=
（2）在平面直角坐标系aOb中，直线a=±6与b=±6围成一个正方形…（8分）
正方形边长即直线a=±6与b=±6之间的距离为d=12…（9分）
正方形的面积S=d2=144…（10分），
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…（11分）
圆在正方形内部…（12分），
所以P（A）=
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从
（1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；
（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？
正确答案
（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大
试题分析：（1)设甲正确完成面试的题数为
解:（1）设甲正确完成面试的题数为
考生甲正确完成题数
设乙正确完成面试的题数为
考生乙正确完成题数
（2）因为
（或
所以
(或：因为
所以
综上所述，
从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；
从做对题数的方差考查,甲较稳定；
从至少完成
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