- 古典概型
- 共2558题
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
（ I）求第4局甲当裁判的概率；
（ II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
正确答案
（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．
则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=
（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．
B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，
则P（X=0）=P（B1B2A3）=P（B1）P（B2）P（A3）=
P（X=2）=P（
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=
从而EX=0×
高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：
规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生．已知该班希望生有2名．
（Ⅰ）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；
（Ⅱ）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；
（Ⅲ）从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率．
正确答案
（Ⅰ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则P(A)=
答：从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为
（Ⅱ）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a=11时，成绩优秀的学生人数为40-5-11-15=9，所以P(B)=
答：从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为
（Ⅲ）设“从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C．
记这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中希望生为a，b．
从中任选2名，所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．
其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．
所以P(C)=
答：从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为
在一次购物活动中，假设6张奖券中有一等奖1张，可获得50元奖金；有二等奖2张，每张可获20元奖金，其余3张没有奖，某顾客从中任取2张，求：
（1）该顾客获奖的概率；
（2）该顾客获得奖金不低于50元的概率．
正确答案
（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
而顾客中奖的对立事件是顾客不中奖，
从6张中抽2张有C62种结果，
抽到的不中奖有C32种结果，
∴P=1-
（2）该顾客中奖50元或70元包括两种情况，且这两种情况是互斥的，
根据等可能事件的概率和互斥事件的概率公式得到
P=
该顾客获得的奖品总价值不少于50元的概率为
某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．
（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是
正确答案
（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，
则P（A）=1-
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为
（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为ξ，则ξ的可能取值为0，x，2x，3x，
P（ξ=0）=（1-
P（ξ=x）=
P（ξ=2x）=
P（ξ=3x）=
∴顾客中奖次数的数学期望Eξ=0×
设商场将每次中奖的奖金额定为x元，则
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．
袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是
（I）求n的值；
（Ⅱ）记从袋中随机取出一个小球为白球得二分，为黑球得一分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为二分的概率．
正确答案
（I）由题意可得 
（Ⅱ）设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：
（a，b）、（a，c1）、（a，c2）、（b，c1）、（b，c2）、（c1，c2）共有6个，
其中得2分的基本事件有 （a，c1）、（a，c2），
所以，总得分为二分的概率为 
已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，求：
（1）当a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}时，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率；
（2）当a∈[0，2]，b∈[0，3]时，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率．
正确答案
方程有实根时，△=（2a）2-4b2≥0，即a2≥b2．记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A．
（1）当a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}时，a与b的所有组合为（第一个数为a的值，第二个数为b的值）：
（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），共20组，即基本事件有20个，由于a在{-2，-1，0，1，2}里取是随机的，b在{0，1，2，3}里取是随机的，所以上述20个事件是等可能性的．
又因为满足条件a2≥b2的有：（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），（-1，1），（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）共11个，即事件A包含了11个基本事件，
所以P（A）=
所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为
（2）设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，2]，b∈[0，3]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图6中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．
由于a在[0，2]上随机抽取，b在[0，3]上随机抽取，
所以，组成区域ABCD的所有基本事件是等可能性的．
又由于满足条件0≤a≤2，且0≤b≤3，且a2≥b2，即a≥b的平面区域如图6中阴影部分所示，其面积为
所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）=
所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为
设关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0
（Ⅰ）设a和b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求上述方程没有实根的概率；
（Ⅱ）若a是从区间（0，3）内任取的一个数，b=2，求上述方程没有实根的概率．
正确答案
（1）基本事件总数为：6×6=36
若方程无实根，则△=b2-4a＜0即b2＜4a
若a=1，则b=1，
若a=2，则b=1，2
若a=3，则b=1，2，3
若a=4，则b=1，2，3
若a=5，则b=1，2，3，4
若a=6，则b=1，2，3，4
∴目标事件个数为1+2+3+3+4+4=17
因此方程ax2+bx+1=0没有实根的概率为
（2）全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2}，其长度d=3，
又构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，b=2，b2＜4a}={（a，b）|1＜a≤3，b=2}，其长度为d′=2，
所以P(A)=
已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．
（1）求函数y=f（x）有零点的概率；
（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
正确答案
（a，b）共有（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）15种情况．
（1）满足△=b2-4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况．
∴函数y=f（x）有零点的概率P=
（2）二次函数f（x）=ax2-bx+1的对称轴x=
∵函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴
有（1，-1），（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，30，（2，4），（3，-1），（3，-1），（3，2），
（3，3），（3，4），共13种情况．
∴函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率P=
某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a．
（1）求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差；
（2）求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差．
正确答案
（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1．（1分）
∴100a2+7a=0.3，
∴1 000a2+70a-3=0，a=
∴100a2+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列为
（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964； （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=32Dξ=8 676．（12分）
从3名男生和2名女生中任选两人参加演讲比赛，试求：
（1）所选2人都是男生的概率；
（2）所选2人恰有1名女生的概率；
（3）所选2人至少有1名女生的概率．
正确答案
（1）从3名男生和2名女生中任选两人参加演讲比赛，所有的选法共有
其中，所选2人都是男生的选法有
（2）所选2人恰有1名女生的选法有3×2=6 种，所有的选法共有
（3）所选2人至少有1名女生的选法有3×2+1=7种，所有的选法共有
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