- 古典概型
- 共2558题
在
正确答案
三个数成递增等差数列，设为 
甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
（Ⅰ）甲、乙选择同一所院校的概率；
（Ⅱ）院校A、B至少有一所被选择的概率．
正确答案
由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：
（甲A，乙A），（甲A，乙B），（甲A，乙C），（甲A，乙D），
（甲B，乙A），（甲B，乙B），（甲B，乙C），（甲B，乙D），
（甲C，乙A），（甲C，乙B），（甲C，乙C），（甲C，乙D），
（甲D，乙A），（甲D，乙B），（甲D，乙C），（甲D，乙D）．
共16种．
（Ⅰ）设“甲、乙选择同一所院校”为事件E，则事件E包含4个基本事件，
故概率P（E）=
（Ⅱ）设“院校A、B至少有一所被选择”为事件F，则事件F包含12个基本事件，
故概率P（F）=
已知甲、乙、丙等6人．
（1）这6人同时参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？
（2）这6人同时参加6项不同的活动，每项活动限1人参加，其中甲不参加第一项活动，乙不参加第三项活动，共有多少种不同的安排方法？
（3）这6人同时参加4项不同的活动，求每项活动至少有1人参加的概率．
正确答案
（1）分别求出这6个人只去1个人、只去2个人、只去3个人、只去4个人、只去5个人，6的人全去的方法数，
分别为
故共有 
（2）所有的安排方法共有
甲参加第一项活动而且乙参加第三项活动的方法有
故甲不参加第一项活动且乙不参加第三项活动的不同的安排方法有 
（3）这6人同时参加4项不同的活动，每项活动至少有1人参加，若各项活动的人数为3、1、1、1时，有
若各项活动的人数为2、2、1、1，则有 
故满足条件的方法数为 （
而所有的安排方法共有 46 种，故每项活动至少有1人参加的概率为 
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A,B,C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A类轿车有10辆.
（1）求z的值；
（2）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数
正确答案
(1)400；(2)
试题分析：(1)设该厂本月生产轿车为
(2) 8辆轿车的得分的平均数为
把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数
由
由古典概型概率的计算公式即得解.
试题解析： (1)设该厂本月生产轿车为
(2) 8辆轿车的得分的平均数为
把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数
由
某种饮料每箱装有6听，其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多大．
正确答案
设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6
则6听中选2听共有（1，2）、（1，3）、（1，4）（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、
（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）共15种，
有1听不合格的有（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）共8种；
有2听不合格的有（5，6）共1种，
故所求事件的概率为 
设集合P={b，1}，Q={c，1，2}，P⊆Q，若b∈{2，3，4，5}．c∈{3，4，5}．
（1）求b=c的概率；
（2）求方程x2+bx+c=0有实根的概率．
正确答案
（1）∵P⊆Q，当b=2时，c=3，4，5；
当b＞2时，b=c=3，4，5．基本事件总数为6．
其中，b=c的事件数为3种．
所以b=c的概率为
（2）记“方程有实根”为事件A，
若使方程有实根，则△=b2-4c≥0，即b=c=4，5，共2种．（4分）
∴P(A)=
袋中有6张卡片，编号分别是1，2，3，4，5，6．现在从袋中任意抽取出3张卡片
（1）记“最大号码分别3，4，5，6”的事件为A，B，C，D，试分别求事件A，B，C，D 的概率．
（2）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为4的概率是多少？
（3）若3张卡片是有放回的抽取，则最大号码为6的概率是多少？
正确答案
（1）∵从袋中任意抽取出3张卡片共有C63种情况
其中最大号码分别3的有C33种情况；
其中最大号码分别4的有C32种情况；
其中最大号码分别5的有C42种情况；
其中最大号码分别6的有C52种情况；
故P（A）=
P（B）
P（C）=
P（D）=
（2）从袋中有放回的任意抽取出3张卡片共有6×6×6种情况
故最大号码为4的概率P=
（3）由（2）的结论
可得最大号码为6的概率P=
一只口袋中装有三个相同的球，编号分别为1，2，3．现从袋中随机取球，每次取一个球，确定编号后放回，连续取球两次．
（Ⅰ）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取球中恰有一次取出3号球的概率．
正确答案
（Ⅰ）一共有3×3=9种不同的结果，列举如下：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．-------------（5分）
（Ⅱ）记“两次取球中恰有一次取出3号球”为事件A．
事件A包含的基本事件为：（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），事件A包含的基本事件数为4，
由（Ⅰ）可知，基本事件总数为9，所以事件A的概率为.P(A)=
答：两次取球中恰有一次取出3号球的概率为.
某学校为了了解高二学生月考的数学成绩，从甲、乙两班各抽取10名学生组成样本，并统计他们的成绩如下：
甲班：97，81，91，80，89，79，92，83，85，93
乙班：60，80，87，77，96，64，76，60，84，96
（1）根据抽取结果填写茎叶图，并根据所填写的茎叶图，对甲、乙两班的成绩做对比，写出两个统计结论；
（2）学校决定从样本中88分以上的7名学生中再随机选取4位同学参加座谈活动，求至少含有一名乙班学生并且甲班第一名或第二名（指甲班样本中的排名）能被抽到的概率．
正确答案
（1）茎叶图如图：统计结论：
①甲班的平均成绩高于乙班的平均成绩；
②甲班的成绩比乙班的成绩更稳定；乙班的成绩分布较为分散．
（2）由茎叶图可得，样本中88分以上的7名学生中甲班有5人，乙班有2人．
对乙班选取的人数进行分类：
乙班选1人的可能结果数是
乙班选2人的可能结果数是
随机选取的总的可能结果数是
∴所求概率为P=
（Ⅰ）若a是从1，2，3，4四个数中任取的一个数，b是从1，2，3三个数中任取的一个数，求点P（a，b）在椭圆
（Ⅱ）若a是从区间（0，3]任取的一个实数，b是从区间（0，3]任取的一个实数，求直线y=x+1与椭圆
正确答案
（Ⅰ）点P（a，b）的全部基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），
（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12个，
设事件A“点P（a，b）在椭圆
点P（a，b）在椭圆
（Ⅱ）实验的全部结果构成的区域为Ω={(a，b)|
设事件B“直线y=x+1与椭圆
则
由△=4a4-4a2（b2+a2）（1-b2）≥0⇒a2+b2≥1
构成的区域为B={（a，b）|a2+b2≥1，（a，b）∈Ω}如图阴影部分，
区域B的面积为9-
所以直线y=x+1与椭圆
P（B）=
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