- 古典概型
- 共2558题
现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是7的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是7的概率是多少?
正确答案
(1)将一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次设第一次得到的点数为x,第二次得到的点数为y,两次抛掷得到的结果可以用(x,y)表示,则连续投掷两次的不同情况如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36种不同结果.
(2)其中向上的点数之和为7 的结果有:
(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6种
(3)向上的点数之和为7 的概率为P==
答:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有36种,
其中向上的点数之和为7的结果有6种;向上的点数之和为7的概率为.
现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是7的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是7的概率是多少?
正确答案
(1)将一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次设第一次得到的点数为x,第二次得到的点数为y,两次抛掷得到的结果可以用(x,y)表示,则连续投掷两次的不同情况如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36种不同结果.
(2)其中向上的点数之和为7 的结果有:
(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6种
(3)向上的点数之和为7 的概率为P==
答:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有36种,
其中向上的点数之和为7的结果有6种;向上的点数之和为7的概率为.
对有个元素的总体
进行抽样,先将总体分成两个子总体
和
(
是给定的正整数,且
),再从每个子总体中各随机抽取
个元素组成样本.用
表示元素
和
同时出现在样本中的概率.
(1)求的表达式(用
表示);
(2)求所有的和.
正确答案
(1) (2)
试题分析:(1) 表示元素
和
必取,
中再取一个,由
种取法,
中再取一个,由
种取法,所以
.(2)
分三种情况,当
都在
中时,
,而从
中选两个数的不同方法数为
,则
的和为
.当
同时在
中时,同理可得
的和为
.当
在
中,
在
中时,
,而从
中选取一个数,从
中选一个数的不同方法数为
,
则的和为
.所以所有
的和为
.
(1) .
(2)当都在
中时,
,
而从中选两个数的不同方法数为
,则
的和为
.
当同时在
中时,同理可得
的和为
.
当在
中,在
中时,
,
而从中选取一个数,从
中选一个数的不同方法数为
,
则的和为
.所以所有
的和为
.
将背面相同正面分别标有1、2、3、4的四张卡片洗匀后背面朝上放在桌面上,
(1)从中随机的抽取一张卡片,求该卡片正面上的数字是偶数的概率;
(2)先从中随机的抽取一张卡片(不放回),将该卡片正面上的数字作为十位数字,再随机的抽取一张卡片,将该卡片正面上的数字作为个位数字,则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少?
正确答案
(1)所有的选法共有4种,而该卡片正面上的数字是偶数的选法有2种,故该卡片正面上的数字是偶数的概率为=
.-----(3分)
(2)设组成的两位数恰好是4的倍数的事件为A,由题设知,基本事件有:12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,其总个数为12个,
组成的两位数恰好是4的倍数的事件A包含的基本事件的个数为3个,由古典概型的概率公式得P(A)==
.
在一次“知识竞赛”活动中,有A1,A2,B,C四道题,其中A1,A2为难度相同的容易题,B为中档题,C为较难题.现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答.
(Ⅰ)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率;
(Ⅱ)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率.
正确答案
由题意可知,甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题,所有可能的结果有16个,
它们是:(A1,A1),(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A2,A1),(A2,A2),(A2,B),
(A2,C),(B,A1),(B,A2),(B,B),(B,C),(C,A1),(C,A2),(C,B),(C,C).
(Ⅰ)用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”,
则M包含的基本事件有:(A1,A1),(A1,A2),(A2,A1),(A2,A2),(B,B),(C,C),共有6个.
所以P(M)==
.
(Ⅱ)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”,
则N包含的基本事件有:(B,A1),(B,A2),(C,A1),(C,A2,),(C,B),共有5个.
所以P(N)=.
汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
正确答案
(Ⅰ)设该厂这个月共生产轿车n辆,
由题意得=
,
∴n=2000,
∴z=2000-(100+300)-150-450-600=400.
(Ⅱ)设所抽样本中有a辆舒适型轿车,
由题意,得a=2.
因此抽取的容量为5的样本中,
有2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车.
用A1,A2表示2辆舒适型轿车,
用B1,B2,B3表示3辆标准轿车,
用E表示事件“在该样本中任取2辆,其中至少有1辆舒适型轿车”,
则基本事件空间包含的基本事件有:
(A1,A2),(A1B1),(A1B2),
(A1,B3,),(A2,B1),(A2,B2)(A2,B3),
(B1B2),(B1,B3,),(B2,B3),共10个,
事件E包含的基本事件有:
(A1A2),(A1,B1,),(A1,B2),(A1,B3),
(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个,
故 P(E)=,
即所求概率为.
(Ⅲ)样本平均数=
(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一数,
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”,
则基本事件空间中有8个基本事件,
事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6个,
∴P(D)==
,即所求概率为
.
现有一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次,计算:
(1)一共有多少种不同的结果?
(2)其中向上的点数之和是7的结果有多少种?
(3)向上的点数之和是7的概率是多少?
正确答案
(1)将一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次设第一次得到的点数为x,第二次得到的点数为y,两次抛掷得到的结果可以用(x,y)表示,则连续投掷两次的不同情况如下:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),
共有36种不同结果.
(2)其中向上的点数之和为7 的结果有:
(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)共6种
(3)向上的点数之和为7 的概率为P==
答:一枚质地均匀的骰子,连续投掷两次的不同情况有36种,
其中向上的点数之和为7的结果有6种;向上的点数之和为7的概率为.
文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等,物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3,物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为、
、
.
(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1,W2,W3));
(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率;
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的概率大于85%,并说明理由.
正确答案
(1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否是A的可能结果8种,
分别为(W1,W2,W3)、(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
)、(
,
,
).
(2)由(1)可知,有两个A的情况为(,W2,W3),(W1,
,W3),(W1,W2,
)三个,
从而该同学参加这次水平测试获得两个A的概率P=;
(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下七种情况:
分别为(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
)、(
,
,
).
概率是P==0.875>85%.
方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A的事件概率大85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件有如下七种情况:
分别为(W1,W2,W3)、(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
).
概率是P==0.875>85%.
文科班某同学参加广东省学业水平测试,物理、化学、生物获得等级A和获得等级不是A的机会相等,物理、化学、生物获得等级A的事件分别记为W1、W2、W3,物理、化学、生物获得等级不是A的事件分别记为、
、
.
(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为A的所有可能结果(如三科成绩均为A记为(W1,W2,W3));
(2)求该同学参加这次水平测试获得两个A的概率;
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件,使该事件的概率大于85%,并说明理由.
正确答案
(1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否是A的可能结果8种,
分别为(W1,W2,W3)、(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
)、(
,
,
).
(2)由(1)可知,有两个A的情况为(,W2,W3),(W1,
,W3),(W1,W2,
)三个,
从而该同学参加这次水平测试获得两个A的概率P=;
(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件概率大85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为A的事件有如下七种情况:
分别为(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
)、(
,
,
).
概率是P==0.875>85%.
方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个A的事件概率大85%,
理由如下:该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件有如下七种情况:
分别为(W1,W2,W3)、(,W2,W3)、(W1,
,W3)、(W1,W2,
、(
,
,W3)、(
,W2,
、(W1,
,
).
概率是P==0.875>85%.
某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛活动,其中每个人被选中的可能性均相等.
(I)列出所有可能的选取结果;
(II)求被选中的4名同学恰有2名文科生的概率;
(Ⅲ)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率.
正确答案
(Ⅰ)将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6.
从2名文科生和4名理科生中选出4名同学的所有方法种数为(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),
(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),
(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6)共15种;
(Ⅱ)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有:(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),
(1,2,4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6)共6种,
记“被选中的4名同学恰有2名文科生”为事件A,
则P(A)==
;
(Ⅲ)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B,
则事件B包括有1名文科生或者2名文科生这两种.其否定为“被选中的4名同学中没有文科生”,
只有一种结果(3,4,5,6).
∵P()=
,
∴P(B)1-P()=1-
=
.
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