- 古典概型
- 共2558题
已知6件产品中有1级品3件，2级品2件，3级品1件．
（I）从这6件产品中随机抽取1件，求这件产品是1级品的概率；
（II）从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品都是1级品的概率．
正确答案
（Ⅰ）因为6件产品中有1级品3件，从中随机抽取1件，该产品是1级品的概率
P1=
（Ⅱ）记这6件产品中有1级品为a1，a2，a3，2级品为b1，b2，3级品为c．
从中随机抽取2件，可能得结果为
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c），
（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c），
（a3，b1），（a3，b2），（a3，c），
（b1，b2），（b1，c），
（b2，c），共15种．…（8分）
其中2件产品都是1级品的结果为
（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），共3种．…（10分）
故所求概率P2=
浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：
赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．
（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；
（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．
正确答案
（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．
82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，
从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．
最大数为90，最小值为65，故极差为25
乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．
67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，
从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．
最大数为95，最小值为67，故极差为28
（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．
所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，
故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=
大小、形状相同的白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，则摸取的2个球均为白色球的概率是______．
正确答案
从白、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取2次，一共有4种不同的结果，列举如下：
（白、白）、（白、黑）、（黑、白）、（黑、黑）
记“摸取的2个球均为白色球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为：（白、白），
即A包含的基本事件数为1，基本事件总数为4，
所以事件A的概率为
故答案为：
设正四面体的四个顶点是A，B，C，D各棱长均为1米，有一个小虫从点A开始按以下规则前进：在每一顶点处用同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头，则它爬了5米之后恰好再次位于顶点A的概率是______（结果用分数表示）．
正确答案
小虫从点A出发，一共分第5步走，可以确定下来是小虫最后一步必须回到A，那么第四步就不能是走回A．
所以，第三步成为关键，第三部分两种情况，①回到A点，②不回A点．
在①情况下，小虫第一步有3种选择，由于第三步为了回到A，则第二步只能有2种选择，
到第四步时，因为从A出发，又有3种选择，所以，此时共有 3×2×1×3×1=18种可能．
在②情况下，第二步的走法又分为③回A点或者④不回A点的情况．
因此在③情况下，共有3×1×3×2×1=18种可能，在④情况下，共有3×2×2×2×1=24种可能．
所以，第五步回到A总共有18+18+24=60种可能，
而小虫总共有3×3×3×3×3=243种选择，概率为 
故答案为 
以长方体ABCD-A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形共面的概率是______（用数字作答）．
正确答案
用长方体的八个顶点做三角形可做C83=56个，
从56个三角形中任取两个三角形共有C562=1540种不同的取法，
要使两个三角形共面，则两个三角形要在同一个长方体的表面或对角面上有12×C42=72，
∴P=
故答案为：
某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的单元测试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级本次单元测试数学成绩不低于60分的人数；
（2）若从数学成绩在[40，50）和[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
正确答案
（1）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1-10×（0.005+0.01）=0.85．
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人；
（2）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05=2人，分别记为A，B．
成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1=4人，分别记为C，D，E，F．
若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．
记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．
所以所求概率为P（M）=
把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a2，第二次出现的点数为b2（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为
正确答案
（a，b）所有可能的情况共有6×6=36种（如下图）
（4分）
（Ⅰ）事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程
所以P(A)=
（Ⅱ）事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=
所以
把一颗骰子投掷两次，记第一次出现的点数为a2，第二次出现的点数为b2（其中a＞0，b＞0）．
（Ⅰ）若记事件A“焦点在x轴上的椭圆的方程为
（Ⅱ）若记事件B“离心率为2的双曲线的方程为
正确答案
（a，b）所有可能的情况共有6×6=36种（如下图）
（4分）
（Ⅰ）事件A表示“焦点在x轴上的椭圆”，方程
所以P(A)=
（Ⅱ）事件B表示“离心率为2的双曲线”，即e2=
所以
从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为______．
正确答案
从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，共有
其中可以构成等差数列的情况有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5）和（1，3，5）四种
故这3个数可以构成等差数列的概率为
故答案为：
现有编号分别为1，2，3，4，5的五个不同的物理题和编号分别为6，7，8，9的四个不同的化学题．甲同学从这九题中一次随机抽取两道题，每题被抽到的概率相等．用符号（x，y）表示事件“抽到的两题的编号分别为x、y，且x＜y”．
（1）共有多少个基本事件？并列举出来．
（2）求甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率．
正确答案
（1）共有 个等可能性的基本事件，列举如下：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，5），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（6，7），（6，8），（6，9），（7，8），（7，9），（8，9）
（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是上一问做出的结果，共有36种结果，
满足条件的事件是甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的，
从上面列举出的结果中找出符合条件的共有15个，
∴甲同学所抽取的两题的编号之和小于17但不小于11的概率是 
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