- 古典概型
- 共2558题
开学初，小源到建设银行营业网点兑换了此前在网上预约的中国高铁纪念币。这枚纪念币由中国人民银行发行，面额10元，每人限兑20枚，且需要提前预约。小源打算与班上同学分享自己的喜悦。他可以向大家这样介绍
①纪念币面额和实际购买力都是由中国人民银行规定的
②纪念币可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能
③纪念币发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间
④纪念币不能与同面额人民币等值流通，必须在规定时间地点使用
正确答案
解析
①错误，国家无权规定纪念币的实际购买力；④错误，纪念币与同面额人民币等值流通，在任何时间地点都可使用；由中国人民银行发行的纪念币属于法定货币，可以直接购买商品，也具有支付手段等货币职能，因其发行量有限，具有一定的收藏价值和升值空间，故②③正确。
知识点
一个口袋内装有2个白球和2个黑球．
（1）先摸出一个白球不放回，求再摸出一个白球的概率；
（2）先摸出1个白球后放回，求再摸出一个白球的概率．
正确答案
解：（1）先摸出一个白球不放回，
则口袋内装还有1个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P=
（2）先摸出1个白球后放回，
则口袋内装仍有2个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P′=
解析
解：（1）先摸出一个白球不放回，
则口袋内装还有1个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P=
（2）先摸出1个白球后放回，
则口袋内装仍有2个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P′=
某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A、B两种放假方案，调查结果如表（单位：万人）：
已知从所有参与调查的人种任选1人是“老年人”的概率为
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴
解得n=400，
（Ⅱ）支持A方案的有
支持B方案”的有
所有的基本事件有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），
（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）
（3，4），（3，a），（3，b）
（4，a），（4，b），
（a，b）共15种，
恰好有1人“支持B方案”事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种．
故恰恰好有1人“支持B方案”的概率P=
解析
解：（Ⅰ）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，
∴
解得n=400，
（Ⅱ）支持A方案的有
支持B方案”的有
所有的基本事件有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），
（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）
（3，4），（3，a），（3，b）
（4，a），（4，b），
（a，b）共15种，
恰好有1人“支持B方案”事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种．
故恰恰好有1人“支持B方案”的概率P=
某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：
（1）求分数在[50，60）的频率及全班的人数；
（2）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份在[90，100]之间的概率．
正确答案
解：（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为25．
（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4，
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4÷25÷10=0.016
（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4[90，100）之间的2个分数编号为5，6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2 ），（1，3），（1，4），（1，5 ） （1，6 ），（2，3 ），（2，4 ），（2，5 ），（2，6），（3，4 ） （3，5 ），（3，6）（4，5 ），（4，6），（5，6 ）
其中至少有一份在[90，100]之间的基本的事件有9个，
所以至少有一份在[90，100]之间的概率为
解析
解：（1）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为25．
（2）分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4，
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为4÷25÷10=0.016
（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4[90，100）之间的2个分数编号为5，6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2 ），（1，3），（1，4），（1，5 ） （1，6 ），（2，3 ），（2，4 ），（2，5 ），（2，6），（3，4 ） （3，5 ），（3，6）（4，5 ），（4，6），（5，6 ）
其中至少有一份在[90，100]之间的基本的事件有9个，
所以至少有一份在[90，100]之间的概率为
为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A，B，C的120名人员中，抽取若干人组成研究小组．三所高校的人数与抽取的人数如下表（单位：人）：
（I）求x，y；
（II）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
正确答案
解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有 20：40：60=1：2：3，
∴x：2：y=1：2：3，
解可得x=1，y=3；
（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，
从中抽取两人共C52=10种，
而二人都来自高校C的情况有C32=3种；
则这二人都来自高校C的概率为 
解析
解：（Ⅰ）根据分层抽样的方法，有 20：40：60=1：2：3，
∴x：2：y=1：2：3，
解可得x=1，y=3；
（Ⅱ）根据题意，从高校B、C抽取的人共有5人，
从中抽取两人共C52=10种，
而二人都来自高校C的情况有C32=3种；
则这二人都来自高校C的概率为
有4条线段，其长度分别为1，3，5，7．现从中任取3条，则不能构成三角形的概率为______．
正确答案
解析
解：从长度分别为1，3，5，7的4条线段中任取3条，可有
故不能构成三角形的概率P=
故答案为
从集合{1，2，3，4}中随机取一个元素a，从集合{1，2，3}中随机取一个元素b，则a＞b的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：从集合{1，2，3，4}中随机选取一个a，有4种方法，再从{1，2，3}中随机选一个数b，有3种方法，根据分步计数原理，所有的取法共有4×3=12种．
即所有的（a，b）共有12个：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、
（4，1）、（4，2）、（4，3）．
其中，满足a＞b的选法有：（2，1）、（3，1）、（3，2）、（4，1）、（4，2）、（4，3）共6个，故满足a＞b的选法有6种．
故a＞b的概率为
故答案为 B．
掷两枚骰子，它们的各面分别刻有1，2，2，3，3，3，则掷得的点数之和为4的概率为 ______
正确答案
解析
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是掷两个骰子，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是掷的点数之和是4，可以列举出所有的事件，
（1，3）（1，3）（1，3）（2，2）（2，2）（2，2）（2，2）（3，1）（3，1）（3，1）共有10种结果，
∴掷得的点数之和为4的概率是
故答案为：
从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意，从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人，
有（甲、乙）（甲、丙）（甲、丁）（乙、丙）（乙、丁）（丙、丁），
共6种不同的取法；
甲被选中的有（甲、乙）（甲、丙）（甲、丁）的三种；
则甲被选中的概率是
故选B．
有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x2+y2=
正确答案
解：（Ⅰ）用（a，b）（a，b分别表示第一、二次取到球的编号）表示先后两次取球构成的基本事件，
则基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12个…（3分）
设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，
则事件A包含的基本事件有：（2，1），（2，4），（4，2）共有3个； …（5分）
∴P（A）=
（Ⅱ）基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个…（8分）
设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2=
由题意知：
则事件B包含的基本事件有：（1，4），（2，4），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有8个； …（11分）
∴P（B）=
解析
解：（Ⅰ）用（a，b）（a，b分别表示第一、二次取到球的编号）表示先后两次取球构成的基本事件，
则基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12个…（3分）
设“第一次球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，
则事件A包含的基本事件有：（2，1），（2，4），（4，2）共有3个； …（5分）
∴P（A）=
（Ⅱ）基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个…（8分）
设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2=
由题意知：
则事件B包含的基本事件有：（1，4），（2，4），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共有8个； …（11分）
∴P（B）=
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