等比中项
共113题

· 等比中项

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题型：填空题

填空题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，，则=（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-y=4相切，

（Ⅰ）求圆O的方程；

（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围（结果用区间表示）。

正确答案

解：（Ⅰ）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，

即，

得圆O的方程为。

（Ⅱ）不妨设，由即得 A（-2，0），B（2，0），

设P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，

得，

即，

，

由于点P在圆O内，故，

由此得：y2＜1，

所以的取值范围为。

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=cosx，x∈（，3π），若方程f（x）=m有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

如图所示，已知圆E：x2+（y﹣1）2=4交x轴分别于A，B两点，交y轴的负半轴于点M，过点M作圆E的弦MN．

（1）若弦MN所在直线的斜率为2，求弦MN的长；

（2）若弦MN的中点恰好落在x轴上，求弦MN所在直线的方程；

（3）设弦MN上一点P（不含端点）满足PA，PO，PB成等比数列（其中O为坐标原点），试探求的取值范围．

正确答案

解：（1）在圆E的方程中令x=0，得M（0，﹣1），

又KMN=2，

所以弦MN所在直线的方程为y+1=2x，即2x﹣y﹣1=0．

∵圆心到直线MN的距离为，且r=2，

∴．

（2）因为yM+yN=0，所以yN=1，代入圆E的方程中得N（±2，1）．

由M（0，﹣1），N（±2，1）得

直线MN的方程为x﹣y﹣1=0或x+y+1=0．

（3）易得，

设P（x，y），则由PAPB=PO2，得

，

化简得①

由题意知点P在圆E内，所以x2+（y﹣1）2＜4，

结合①，4y2﹣4y﹣3＜0，

解得．

从而=．

题型：简答题

简答题

已知向量=（3sinA，cosA），=（cosB，sinB），=sin2C，且A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角。

（1）求角C的大小；

（2）若sinA，sinB，sinC成等比数列，且·=18，求c的值。

正确答案

解：（1）∵，

∴

即

∵

∴

又C为三角形的内角

∴；

（2）∵成等比数列

∴

又

∴

故=36

∴c=6。

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