- 有穷数列和无穷数列
- 共681题
已知数列{an}的前n项和sn=32n-n2+1，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前多少项和最大．
正确答案
解：（1）当n=1时；a1=s1=32-1+1=32；
当n≥n时，
所以：an=
（2）
所以，前S16的和最大；
解析
解：（1）当n=1时；a1=s1=32-1+1=32；
当n≥n时，
所以：an=
（2）
所以，前S16的和最大；
数列{an}中，an=43-3n，则Sn取最大值时n=______．
正确答案
14
解析
解：令an=43-3n＞0，求得n＜
∵a1=40＞0，从而此数列从第15开始是负值，前14项均为正值，
∴前14项的和最大S14=
故答案为：14．
已知数列{an}的通项公式an=n2-（6+2λ）n+2014，若a6或a7为数列{an}的最小项，则实数λ的取值范围______．
正确答案
解析
解：an=n2-（6+2λ）n+2014=[n-（3+λ）]2+2014-（3+λ）2，
∵a6或a7为数列{an}的最小项，
∴5.5＜3+λ＜7.5，
解得
故答案为：
已知数列{an}的通项公式为an=4n-102，则数列从第______项开始值大于零．
正确答案
26
解析
解：令an=4n-102＞0，解得n＞
因此数列从第26项开始值大于零．
故答案为：26．
给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|-|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．
（1）若a1=-c-2，求a2及a3；
（2）求证：对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．
由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，
又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，
∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；
③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．
解析
解：（1）a2=f（a1）=f（-c-2）=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2，
a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|-|2+c|=2（6+c）-（c+2）=10+c．
（2）由已知可得f（x）=
当an≥-c时，an+1-an=c+8＞c；
当-c-4≤an＜-c时，an+1-an=2an+3c+8≥2（-c-4）+3c+8=c；
当an＜-c-4时，an+1-an=-2an-c-8＞-2（-c-4）-c-8=c．
∴对任意n∈N*，an+1-an≥c；
（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．
由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．
又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥-c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，
因此公差d=c+8．
①当a1＜-c-4时，则a2=f（a1）=-a1-c-8，
又a2=a1+d=a1+c+8，故-a1-c-8=a1+c+8，即a1=-c-8，从而a2=0，
当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞-c，
∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=-c-8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；
②若-c-4≤a1＜-c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=-c，应舍去；
③若a1≥-c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．
综上可知：a1的取值范围为{-c-8}∪[-c，+∞）．
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