- 有穷数列和无穷数列
- 共681题
观察此数列1，3，6，10，x，21，28，…，项之间的关系并推测出x的值是（ ）
正确答案
解析
解：由数列1，3，6，10，x，21，28，…，
可得：3-1=2，
6-3=3，
10-6=4，
∴x-10=5，解得x=15．
21-15=6，
28-21=7，
…．
因此x=15．
故选：B．
已知数列{an}的通项公式为an=
正确答案
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
解析
解：∵列{an}的通项公式为an=
∴an+1=
∴an+1-an=
即an+1＞an，
∴数列{an}是单调递增数列．
设数列{an}的通项公式为an=n2+kn（n∈N+），若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
正确答案
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
解析
解：∵数列{an}是单调递增数列，
∴an+1＞an（n∈N+）恒成立．
又an=n2+kn（n∈N+），
∴（n+1）2+k（n+1）-（n2+kn）＞0恒成立，
即2n+1+k＞0，
∴k＞-（2n+1）（n∈N+）恒成立．
当n=1时，-（2n+1）的最大值为-3，
∴k＞-3即为所求范围．
已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2．求a2007．
正确答案
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
解析
解：由题设an+2≥an+2，可得a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥…≥a1+2×1003=2007．
由 an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）．
于是 a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤…≤a1+3×668+1×2=2007，
∴a2007=2007．
已知数列{an}中，an=n2+（λ+1）n，（x∈N*），且an+1＞an对任意x∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵an+1＞an，
∵an=n2+（λ+1）n恒成立
即（n+1）2+（λ+1）（n+1）＞n2+（λ+1）n，
∴λ+1＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ+1＞-3，即λ＞-4．
故选D．
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