函数恒成立、存在、无解问题
共23题

· 函数恒成立、存在、无解问题

函数恒成立、存在、无解问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数f (x)的导数f(x)满足0<f(x)<1，常数a为方程f (x)=x的实数根。

（1）若函数f (x)的定义域为M，对任意[a,b]M，存在x0[a,b]，使等式

f (b)–f (a)=(b–a)f(x0)成立，求证：方程f (x)=x存在唯一的实数根a；

（2）求证：当x>a时，总有f (x)<x成立；

（3）对任意x1、x2，若满足|x1–a|<2，|x2–a|<2，求证：|f (x1)–f (x2)|<4.

正确答案

见解析。

解析

知识点

函数性质的综合应用函数恒成立、存在、无解问题不等式的证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知向量，，其中.函数在区间上有最大值为4,设.

（1）求实数的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

（1）（2）

解析

（1）由题得

又开口向上，对称轴为，在区间单调递增，最大值为4,

所以，

（2）由（1）的他，

令,则以可化为,

即恒成立,

且,当,即时最小值为0,

知识点

函数的最值函数恒成立、存在、无解问题平面向量数量积的运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

设曲线在点处的切线斜率为，且,对一切实数，不等式恒成立（）。

（1）求的值；

（2）求函数的表达式；

（3）求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1），,

, ……….2分

（2） ……..4分

, ，

又即

…….8分

（3）证明: 。

∴原式…………..10分

…

………….12分

知识点

函数奇偶性的性质函数恒成立、存在、无解问题导数的几何意义分析法的思考过程、特点及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为H函数。

① 对任意的，总有；

② 当时，总有成立。

已知函数与是定义在上的函数。

（1）试问函数是否为H函数？并说明理由；

（2）若函数是H函数，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，若方程有解，求实数m的取值范围，

正确答案

见解析

解析

（1）当时，总有满足①

当时，满足②

所以函数为H函数

（2）因为函数是H函数，根据①有，

根据②有，

因为，

所以，，其中和不能同时取到，

于是，

所以，即，

于是

另解：因为函数是函数，根据①有，

根据②有

取得，于是

（3）根据（2）知，原方程可以化为，

由

令，则

因此，当时，方程有解

知识点

函数恒成立、存在、无解问题函数零点的判断和求解

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知函数（常数）的图像过点．两点。

（1）求的解析式；

（2）问：是否存在边长为正三角形，使点在函数图像上，．从左至右是正半轴上的两点？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由；

（3）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且不等式恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

（1）把和分别代入

可得：

化简此方程组可得：

即

可得，

，

代入原方程组可得：

（2）由边长为可知：

此三角形的高即点的纵坐标为--5’

点的坐标为

点的横坐标为，

即

，

直线的倾斜角为

这样的正三角形存在，且点，

直线的方程为

即

（3）由题意知：为的反函数，

（）

即当恒成立

只需求函数在上的最小值即可，

又在单调递增

，

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知识点

函数解析式的求解及常用方法函数性质的综合应用函数恒成立、存在、无解问题反函数

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。

① 对任意的，总有；

② 当时，总有成立。

已知函数与是定义在上的函数。

（1）试问函数是否为函数？并说明理由；

（2）若函数是函数，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，讨论方程）解的个数情况。

正确答案

（1）当时，总有，满足①，　　

当时，

，满足②

（2）若时，不满足①，所以不是函数；　　

若时，在上是增函数，则，满足①　

由，得，

即，　　　　　　　　　　　

因为

所以与不同时等于1

当时，　

，　　　

综合上述：　　　　　　　　　　　　　　

（3）根据（２）知：　a=1，方程为，

由　得　　　　　　　

令，则

由图形可知：当时，有一解；

当时，方程无解。　　

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知识点

函数恒成立、存在、无解问题指数函数综合题函数零点的判断和求解

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.已知函数对任意x∈［,+∞］都有意义，则实数的取值范围是（）

A（0,

B（0,）

C [,1

D（,）

正确答案

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知识点

函数恒成立、存在、无解问题对数函数的定义域

题型：单选题

单选题 · 4 分

17．设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数K，定义函数：，取函数=．若对任意的，恒有=，则（）

AK的最大值为2

BK的最小值为2

CK的最大值为1

DK的最小值为1

正确答案

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知识点

函数恒成立、存在、无解问题指数函数综合题

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围为____________．

正确答案

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知识点

函数的图象函数恒成立、存在、无解问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）证明：是上的偶函数．

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

（3）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

正确答案

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知识点

函数奇偶性的判断函数恒成立、存在、无解问题不等式的基本性质比较法

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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