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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数f (x)的导数f(x)满足0<f(x)<1,常数a为方程f (x)=x的实数根。

(1)若函数f (x)的定义域为M,对任意[a,b]M,存在x0[a,b],使等式

f (b)–f (a)=(b–a)f(x0)成立,求证:方程f (x)=x存在唯一的实数根a;

(2)求证:当x>a时,总有f (x)<x成立;

(3)对任意x1、x2,若满足|x1–a|<2,|x2–a|<2,求证:|f (x1)–f (x2)|<4.

正确答案

见解析。

解析

知识点

函数性质的综合应用函数恒成立、存在、无解问题不等式的证明
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知向量,其中.函数在区间上有最大值为4,设.

(1)求实数的值;

(2)若不等式上恒成立,求实数的取值范围.

正确答案

(1)(2)

解析

(1)由题得

开口向上,对称轴为,在区间单调递增,最大值为4,

  所以,

(2)由(1)的他,

,则 以可化为,

恒成立,

,当,即最小值为0,

知识点

函数的最值函数恒成立、存在、无解问题平面向量数量积的运算
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设曲线在点处的切线斜率为,且,对一切实数,不等式恒成立()。

(1)求的值;

(2)求函数的表达式;

(3)求证:.

正确答案

见解析。

解析

(1),

,        ……….2分

(2)       ……..4分

,

       …….8分

(3)证明: 。

∴原式……..10分

                ………….12分

知识点

函数奇偶性的性质函数恒成立、存在、无解问题导数的几何意义分析法的思考过程、特点及应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

对定义在上,并且同时满足以下两个条件的函数称为H函数。

①   对任意的,总有

②   当时,总有成立。

已知函数是定义在上的函数。

(1)试问函数是否为H函数?并说明理由;

(2)若函数是H函数,求实数a的值;

(3)在(2)的条件下,若方程有解,求实数m的取值范围,

正确答案

见解析

解析

(1)当时,总有满足①

时,满足②

所以函数为H函数

(2)因为函数是H函数,根据①有

根据②有

因为

所以,其中不能同时取到,

于是

所以,即

于是

另解:因为函数函数,根据①有

根据②有

,于是

(3)根据(2)知,原方程可以化为

,则

因此,当时,方程有解

知识点

函数恒成立、存在、无解问题函数零点的判断和求解
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.已知函数(常数)的图像过点两点。

(1)求的解析式;

(2)问:是否存在边长为正三角形,使点在函数图像上,从左至右是正半轴上的两点?若存在,求直线的方程,若不存在,说明理由;

(3)若函数的图像与函数的图像关于直线对称,且不等式恒成立,求实数的取值范围。

正确答案

(1)分别代入

可得:

化简此方程组可得:

可得

代入原方程组可得:

(2)边长为可知:

此三角形的高即点的纵坐标为--5’

的坐标为

的横坐标为

直线的倾斜角为

这样的正三角形存在,且点

直线的方程为

(3)由题意知:的反函数,

恒成立

恒成立

只需求函数上的最小值即可,

单调递增

解析

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知识点

函数解析式的求解及常用方法函数性质的综合应用函数恒成立、存在、无解问题反函数
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