圆周角定理
共75题

· 圆周角定理

圆周角定理
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题型：填空题

填空题

如图，半圆O的直径AB=7，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于______．

正确答案

解析

解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；

∴=；

设BE=x，则DE=5-x，EC=x，AE=2（5-x）；

连接BC，则∠ACB=90°；

Rt△BCE中，BE=x，EC=x，则BC=x；

在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10-x，BC=x；

由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，

即：72=（10-x）2+（ x）2，

整理，得x2-10x+17=0，解得x1=5+2 ，x2=5-2 ；

由于x＜5，故x=5-2 ；

则DE=BD-BE=2 ．

故答案为2．

方法二：

设DE=x，连接AD

∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；

∴=则AE=2x

在Rt△ADB中，AD2=49-25=24

在Rt△ADE中，AD2=-x2+（2x）2=24，解得x=

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB=100°，则∠ACB的度数为______．

正确答案

解：连接OA、OB，

∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，

∴∠AOB=180°-100°=80°，

∵∠ACB=∠AOB，

∴∠ACB=×80°=40°．

故答案为40°．

解析

解：连接OA、OB，

∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，

∴∠AOB=180°-100°=80°，

∵∠ACB=∠AOB，

∴∠ACB=×80°=40°．

故答案为40°．

题型：简答题

简答题

如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．

求证：∠DEA=∠DFA．

正确答案

证明：连接AD，∵AB为圆的直径，

∴∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°

∴A、D、E、F四点共圆．

∴∠DEA=∠DFA．

解析

证明：连接AD，∵AB为圆的直径，

∴∠ADB=90°，

又EF⊥AB，∠EFA=90°

∴A、D、E、F四点共圆．

∴∠DEA=∠DFA．

题型：填空题

填空题

如图，在等边△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，连接AD，则∠DAC的度数为 ______度．

正确答案

解析

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；

又∵△ABC是等边三角形，

∴DA平分∠BAC，即∠DAC=∠BAC=30°．

故答案为：30．

题型：简答题

简答题

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根．

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

正确答案

解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

∴C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．

故AD=2，AB=12．

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．

∵C，B，D，E四点共圆，

∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．

由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

解析

解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

AD×AB=mn=AE×AC，

即

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB

因此∠ADE=∠ACB

∴C，B，D，E四点共圆．

（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．

故AD=2，AB=12．

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．

∵C，B，D，E四点共圆，

∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．

由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12-2）=5．

故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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