- 圆周角定理
- 共75题
（1）求证：∠NBD=∠DBM；
（2）求证：AM是∠BAC的角平分线．
正确答案
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
解析
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
如图，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=1，△ABC的面积S是______．
正确答案
解析
解：由题意知∠ACB=∠CDB=60°，结合圆周角定理知必有AB=BC，由此知三角形为正三角形，
又AC=1
故面积为
故答案为：
在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于（ ）
正确答案
解析
解：由题意，根据正弦定理：
故选C．
（1）求证：DF垂直且平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
正确答案
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
解析
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
正确答案
解析
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
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