热门试卷

（Ⅰ）根据抛物线的定义，

可得动圆圆心P的轨迹C的方程为x2=y（4分）

（Ⅱ）证明：设A（x1，x12），B（x2，x22），∵y=x2，

∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分别

为2x1，2x2，故AN的方程为y-x12=2x1（x-x1），

BN的方程为y-x22=2x2（x-x2）（7分）

即，两式相减，得x=，

∴M，N的横坐标相等，于是MN⊥x轴（10分）

解、（1）由题设可知；PM，PN的斜率存在且不为0，

则由kPM•kPN=λ得：•=λ，即x2-=1  (y≠0)．

所以动点P的轨迹C的方程为x2-=1  (y≠0)；

（2）讨论如下：

①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴两个端点）；

（3）当λ=2时，轨迹C的方程为x2-=1  (y≠0)，显然定点E、F为其左右焦点．

假设存在这样的点P，使得∠EPF=120°，记∠EPF=θ，

设PE=m，PF=n，EF=2，

那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m2+n2-2mn=4，

(2)2=m2+n2-2mncosθ，

两式联立得：2mn（1-cosθ）=8，所以mn===．

S△EPF=mnsin120°=××= 

再设P（xP，yP）

又因为S△EPF=|EF||yP|=×2|yP|=

所以|yP|=故yP=±代入椭圆的方程可得：xP2-=1

所以xP=±，所以满足题意的点P有四个，坐标分别为：(，)，(-，)，(，-)，(-，-)．

（1）设P（x，y），则=（-1-x，-y），=（1-x，-y），=（-x，-y）．

∴•=（-1-x）（-x）+（-y）2=（x+1）（x-）2+y2，

•=（1-x）•（-x）+（-y）2=（x-1）（x-）+y2．

∴3[（x+1）（x-）+y2]+（x-1）（x-）+y2=0．

∴x2+y2=即为P点的轨迹方程．

（2）设存在，则cos∠F1PA=cos∠APF2．

∴=．

将条件3•=-•代入上式不成立．∴不存在．

（1）△APB中，由余弦定理得：AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|•cos2θ=

|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|•（1-2sin2θ）=|PA|2+|PB|2-2|PA|•|PB|+4|PA|•|PB|sin2θ 

=（|PA|-|PB|）2+8=16，∴||PA|-|PB||=2，故点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线，

且 c=2，a=，∴b=，故双曲线方程为  x2-y2=2．

（2）假设存在定点C（m，0），使得•为常数，当直线l斜率存在时，设直线l的方程为 y=k（x-2），

代入双曲线方程得 （1-k2） x2+4k2x-（4k2+2）=0，由题意知  k≠±1．

∴x1+x2=，x1•x2=．

∵•=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-2 ）（x2-2）

=（1+k2）x1•x2-（2k2+m）（x1+x2）+4k2+m2=+ m2+ 2(1-2m) 为常数，与k无关，

∴m=1，此时，•=-1．

当当直线l斜率不存在时，M（2，2），N （2，-2），•=-1．

综上，存在定点C（1，0），使得•为常数．