热门试卷

由题意可得已知圆的方程为x2+y2=4．

设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），

∵M是线段PP′的中点，

∴由中点坐标公式得x=x0，y=，

即x0=x，y0=2y．

∵P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，

∴x02+y02=4 ①

将x0=x，y0=2y代入方程①得

x2+4y2=4，即+y2=1．

∴点M的轨迹是一个椭圆．

设C的坐标为（x，y），则

∵△ABC的两个顶点A（-a，0），B（a，0）（a＞0），直线AC的斜率与BC的斜率之积为负数m

∴×=m

∴+=1，（y≠0）

当m=-1时，轨迹是一个圆（除去与x轴的交点）；

当0＞m＞-1是焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）；

当m＜-1是焦点在y轴上的椭圆（除去与x轴的交点）．

（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=

∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）

设它的方程为-=1(x＞a)，则

解得：，故所求的方程为-=1(x＞)

（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），

∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B

∴由双曲线定义知|Q1Q2|=e(x1+x2-)=2(x1+x2-)=2

∴x1+x2=

若m=0，则x1=x2=，此时x1+x2=，即|Q1Q2|=2合题意若m≠0，由，消去y得：9x2-3(-x)2=1，

化简得：（27m2-9）x2+12x-3m2-4=0，x1+x2==

解得m=0与m≠0矛盾．

∴m=0

（3）当x=时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°

猜想λ=2

当x≠时，设P（x，y）则{y^2}=-3(-x2)，且tan∠PCB=

∴tan2∠PCB=====

而tan∠PBC=-tan∠PBx==

∴tan2∠PCB=tan∠PBC

又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π

∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB

设圆x2+y2-6x+5=0的圆心为C，则C的坐标是（3，0），由题意，CM⊥AB，则有kCMkAB=-1

∴×=-1（x≠3，x≠0）…（3分）

化简得x2+y2-3x=0（x≠3，x≠0）…（6分）

当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意                     …（7分）

当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意                   …（8分）

解方程组得x=，y=±

∴点M的轨迹方程是x2+y2-3x=0（≤x≤3）           …（10分）