动点的轨迹方程
共573题

· 动点的轨迹方程

动点的轨迹方程
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题型：简答题

简答题

过双曲线-=1的右焦点作直线L交双曲线于AB两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

正确答案

双曲线-=1的右焦点为（5，0），设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），M（x，y），则，两式相减化简得=，，又AB的斜率为，∴=

题型：简答题

简答题

已知曲线C1：+=1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为4，曲线C1的内切圆半径为．记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

（1）若|MO|=λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；

（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，又a＞b＞0，解得 a2=5，b2=4．

因此所求椭圆的标准方程为 +=1．

（Ⅱ）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k≠0），A（xA，yA）．

解方程组得=，=，

所以|OA|2=+=+=．

设M（x，y），由题意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），

所以|MO|2=λ2|OA|2，即x2+y2=λ2，

因为l是AB的垂直平分线，所以直线l的方程为y=-x，即k=-，

因此x2+y2=λ2=λ2，

又x2+y2≠0，所以5x2+4y2=20λ2，故+=λ2．

又当k=0或不存在时，上式仍然成立．

综上所述，M的轨迹方程为+=λ2(λ≠0)．

（2）当k存在且k≠0时，由（1）得=，=，

由

解得=，=，

所以|OA|2=+=，|AB|2=4|OA|2=，|OM|2=．

由于=|AB|2•|OM|2=××=≥==()2，

当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k=±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB=．

当k=0，S△AMB=×2×2=2＞．

当k不存在时，S△AMB=××4=2＞．

综上所述，△AMB的面积的最小值为．

题型：简答题

简答题

设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量=(mx，y+1)，向量=(x，y-1)，⊥，动点M（x，y）的轨迹为E．求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状．

正确答案

∵向量=(mx，y+1)，向量=(x，y-1)，

由⊥，得•=mx2+y2-1=0，即mx2+y2=1．

当m=0时，方程表示两直线，方程为y=±1；

当m=1时，方程表示的是圆，方程为x2+y2=1；

当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；

当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；

当m＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．

题型：简答题

简答题

已知P是曲线y=2x2-1上的动点，定点A（0，-1），且点P不同于点A，若M点满足=2，求点M的轨迹方程．

正确答案

由题意，设P（x0，y0），M（x，y），

∵=2，定点A（0，-1），

∴（x-x0，y-y0）=2（-x，-1-y），

∴x0=3x，y0=3y+2；

∵P是抛物线y=2x2-1上的动点，∴y0=2x02-1，

∴y=6x2-1．

故答案为：y=6x2-1．

题型：简答题

简答题

已知圆O：(x+)2+y2=16，点A(，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于点M，设点M的轨迹为E．

（I）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程．

正确答案

（1）（1）由题意|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=4＞2，

所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，…（2分）

即轨迹E的方程为+y2=1．…（4分）

（2）记A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意，直线AB的斜率不可能为0，

故可设AB：x=my+1，

由，消x得：（4+m2）y2+2my-3=0，

所以…（7分）

S=|OP||y1-y2|==．…（9分）

由S=，解得m2=1，即m=±1．…（10分）

故直线AB的方程为x=±y+1，

即x+y-1=0或x-y-1=0为所求．…（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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