热门试卷

（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零

所以kPM•kPN=•=λ，整理得x2-=1（λ≠0，x≠±1）（4分）

（Ⅱ）①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）

②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴两个端点）

③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点（-1，0），（1，0）

④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个端点）（12分）

（1）设M点坐标为（x，y），那么A点坐标是（2x，2y），

A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，

所以 （2x）2+（2y）2-16x=0

所以M 点轨迹方程为  x2+y2-4x=0．

（2）设N点坐标为（x，y），那么A点坐标是（，），

A点坐标满足圆x2+y2-8x=0的方程，

得到：（）2+（）2-4x=0，

N点轨迹方程为：x2+y2-16x=0

（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则=(x-xA，y-yA)，

因为F的坐标为（1，0），所以=(xA-1，yA)，

由=-2，得（x-xA，y-yA）=-2（xA-1，yA）．

即，解得

代入y2=4x，得到动点P的轨迹方程为y2=8-4x．

（2）设点Q的坐标为（t，0）．点Q关于直线y=2x的对称点为Q′（x，y），

则，解得．

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或t=-．

所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（-，0）．

以直线b为 x轴，以过点A且与b直线垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，

由题意A（0，p），设△AMN的外心C（x，y），则M（x-p，0）N（x+p，0），

由题意有|CA|=|CM|．∴=，

解得x2=2py，它是以原点为顶点、y轴为对称轴、开口向上的抛物线．

（2）不难得到，直线c是轨迹E的准线，由抛物线的定义可知，d=|CF|，

其中F（0.），是抛物线的焦点，

所以d+|BC|=|CF|+|BC|，

由两点距离可知直线段最短，

线段BF与轨迹E的交点就为所求的使d+|BC|最小点，

由两点式方程可求直线BF的方程为：y=x+p，与x2=2py联立，

得C（p(1+)，p）．

故当△AMN的外心C在E上

C（p(1+)，p）时，d+|BC|最小，

最小值|BF|=p．