热门试卷

设P点的坐标为（x，y）

∵A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为-．

∴•=-（x≠±2）

整理得P点的轨迹方程为+=1（x≠±2）

（2）设直线l的方程为x=ny+1

联立方程x=ny+1与+=1（x≠±2）得

（3n2+4）y2+6ny-9=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=

△MON的面积S=•|OP|•|y1-y2|====

令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增

∴当t=1时，y=3t+取最小值4

此时S取最大值

此时直线的方程为x=1

如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=2|MQ|}

∵圆的半径|ON|=1 

∴|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 

设点M的坐标为（x，y），

则=2

整理得3（x2+y2）-16x+17=0，即x2+y2-x+=0

它表示圆心为（，0），半径为的圆．

（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中c=，a=2，

∴b2=a2-c2=1．

故轨迹C的方程为：x2+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）

由，消去y，

可得（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx-3=0

△=16k2+48＞0，x1+x2=-，x1x2=-，

∵以AB为直径的圆经过原点O，

∴⊥，

∴x1x2+y1y2=0，

∴（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，

∴（k2+1）（-）+k•（-）+1=0，

∴k=±，

∴k=±时，以AB为直径的圆经过原点O，

|AB|=•=．

（1）将（2，2）代入x2=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x2=2y．

即y=x2．

y对x求导得y′=x，所以抛物线x2=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y′|x=2=2．

所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．

它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．

由题意可知，a=2，b=1．

所以椭圆E的方程分别为+x2=1；

（2）假设直线BC恒过定点D．

设直线AB的斜率kAB=k1，直线AC的斜率kAC=k2，则k1k2=-4．

从而直线AB的方程为y=k1x+2．

联立，整理得(k12+4)x•(x+)=0．

从而点B的横坐标xB=-，yB=k1•(-)+2=．

所以点B的坐标为(-，)．

同理点C的坐标为(-，)．

于是，xB=-=，yB==．

xC=-=，yC==．

所以点B，C均在直线y=x上．

而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为y=x，即y=x．

所以BC恒过定点D（0，0）；

（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，

所以•=0．

又因为=(x，y-2)，=(x，y)，

所以有x2+y（y-2）=0，即x2+（y-1）2=1．

所以H的轨迹方程为x2+（y-1）2=1（去掉点（0，2））．