- 动点的轨迹方程
- 共573题
已知椭圆C1：
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直与椭圆的长轴，动直线l2垂直于直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（3）若A（x1，2），B（x2，y2），C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥BC，求实数y0的取值范围．
正确答案
（1）因为e=
与直线方程 x-y+
因为直线与椭圆相切，所以，△=(6
5
)2-4×5(15-6c2)=0，
又因为c＞0，所以 c=1，所以，椭圆 C1的方程为 
（2）由题意可知，PM=MF2，又PM为点M到直线l1 的距离，
所以，点M到直线l1的距离与到点 F2的距离相等，
即点M的轨迹C2 是以直线 l1 为准线，点F2为焦点的抛物线，
因为直线l1的方程为X=-1，点P的坐标为（1，0），所以，点M的轨迹C2 的方程为 y2=4x．
（3）由题意可知A点坐标为（1，2）． 因为AB⊥BC，所以，
即 （x2-1，y2-1）•（x0-x2，y0-y2 ）=0，又因为 x2=
所以，
因为 y2≠2，y2≠y0，所以，
整理可得：y22+（2+y0 ）y2+（2y0+16）=0，关于 y2 的方程有不为2的解，所以
△=（2+y0）2-4（2y0+16）≥0，且 y0≠-6，
所以，y02-4y0-60≥0，且y0≠-6，解得 y0 的取值范围为 y0＜-6，或 y0≥10．
已知点B是半圆x2+y2=1（y＞0）上的一个动点，点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且顶点A、B、C按顺时针方向排列．求点C的轨方程．
正确答案
设C（x，y），令B（x0，y0），
∵点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴kAB×kAC=-1，且AB=AC
∴
（x-2）2+y2=（x0-2）2+y02 ②
由①得x0-2=
yy0
x-2
)2+y0 2
整理得（x-2）2+y2=y0 2×(1+
又y0＞0，x≥2
可得y0=x-2代入①得
又点B（x0，y0）是半圆x2+y2=1（y＞0）上的一个动点
所以有（x-2）2+（y-2）2=1（x≥2）
故点C的轨迹方程是（x-2）2+（y-2）2=1（x≥2）
已知A，B是圆x2+y2=2上两动点，O是坐标原点，且∠AOB=120°，以A，B为切点的圆的两条切线交于点P，则点P的轨迹方程为______．
正确答案
由题意，A，O，B，P四点共圆，且圆的直径为OP
∵∠AOB=120°，PA，PB为圆的切线
∴∠AOP=60°
∵|OA|=
∴|OP|=2
∴点P的轨迹方程为x2+y2=8
故答案为：x2+y2=8．
已知动点P在曲线2x2-y=0上移动，则点A（0，-1）与点P连线中点的轨迹方程是______．
正确答案
设点A（0，-1）与点P连线中点坐标为（x，y），则由中点坐标公式可得P（2x，2y+1），
∵动点P在曲线2x2-y=0上移动，
∴2（2x）2-（2y+1）=0
即8x2-2y-1=0
故答案为：8x2-2y-1=0．
已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
正确答案
（1）连接CP，由
∴|CP|=|AP|=|BP|=
有（x2+y2）+[（x-1）2+y2]=9化简，得到x2-x+y2=4（8分）
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y2=2px上，其中
∴p=2，故抛物线方程为y2=4x（10分）由方程组
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2，故满足条件的点存在的，其坐标为（1，-2）和（1，2）（14分）
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