- 动点的轨迹方程
- 共573题
若点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为______．
正确答案
∵点P到直线y=-1的距离比它到点（0，3）的距离小2，
∴点P到直线y=-3的距离和它到点（0，3）的距离相等，
故点P的轨迹是以点（0，3）为焦点，以直线y=-3为准线的抛物线，
即p=6，则点P的轨迹方程为 x2=12y，
故答案为 x2=12y．
平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（1，0），P是x轴上任意一点，平面上点M满足：
正确答案
设P（t，0），M（x，y），则
∵A（-2，0），B（2，0），C（1，0），
∴（x-t，y）•（2-t，0）≥（x-1，y）•（1，0），
∴（x-t）（2-t）≥x-1，
∴t2-（2+x）t+x+1≥0恒成立，
∴（2+x）2-4x-4≤0，
∴x2≤0，即x=0，
故答案为：x=0．
已知O为坐标原点，点M，N分别在x，y轴上运动，且|MN|=4，动点P满足
（I）求动点P的轨迹C的方程．
（II）过点（0，2）的直线l与C交于不同两点A，B．
①求直线l斜率k的取值范围．②若OA⊥OB，求直线l的方程．
正确答案
（I）设M（a，0），N（0，b），P（x，y），由条件
因为|MN|=4，所以a2+b2=16，即
（II）设直线l的方程为：y=kx+2，与椭圆方程联立、消元得：（1+9k2）x2+36kx+27=0 （1）
①直线l与C交于不同两点A，B则△＞0，解得k＜-
②设A（x1，y1），B（x2，y2），OA⊥OB⇔x1x2+y1y2=0 （2），
由（1）可得x1x2=
所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
代入（2）得k2=
所以直线l的方程为：y=±
已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P，
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W．（Q，S，R，T为不同的四个点）
①设W（x°，y°），证明：
②求四边形QRST的面积的最小值．
正确答案
（1）设动圆半径为r，
则|PC|=2
由椭圆定义可知，点P的轨迹E是椭圆，
其方程为
（2）①证明：由已知条件可知，垂足W在以CD为直径的圆周上，
则有x°2+y°2=1，
又因Q，S，R，T为不同的四个点，
②若l1或l2的斜率不存在，四边形QRST的面积为2．（6分）
若两条直线的斜率存在，设l1的斜率为k1，
则l1的方程为y=k1（x+1），
联立
得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0，
则|QS|=2
同理得|RT|=2
∴SQSRT=
当且仅当2k2+1=k2+1，即k=±1时等号成立．（11分）
综上所述，当k=±1时，四边形QRST的面积取得最小值为
已知椭圆C的两个焦点分别为F1和F2，且点A（-
（1）求焦点F2的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx+b（k＞0）与曲线C交于M、N两点，以MN为直径的圆经过原点，求实数b的取值范围．
正确答案
（1）|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|，
∴|AF2|-|BF2|=|BF1|-|AF1|=6-4=2，
故轨迹F为以A、B为焦点的双曲线的右支．
设其方程为：
∵2a=2，
∴a=1，b2=c2-a2=4．
故轨迹方程为x2-
（2）由
方程（4-k2）x2-2kbx-（b2+4）=0有两个正根x1，x2．
∴
设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件知x1x2+y1y2=0．
而y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2+b2，
∴（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
即
整理得3b2=4（k2+1），即b2=
∴b2-k2+4＞0，
即
∴
而k＞0，∴b＜0．
∴b2=
∴b＜-
故b的取值范围为（-∞，-
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