热门试卷

（1）设P（x，y），则d1=|x+| ，d2=，

由题设知|x+| =，

平方整理可得+y2=1．

（2）将y=k（x+1）（k≠0）代入+y2=1，

消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2-4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=，

y1+y2=k(x1+x2+2)=，

弦AB的中点为(-，)，中垂线n的方程为y-=-(x+)，

令x=0，可得y0=-，

∵k≠0，=-，+4k≥4或+4k≤-4，

∴-≤-≤，且-≠0，

即y0的取值范围是[-，0)∪(0，]．

（Ⅰ）∵动点M到定点F与到定直线x=-的距离相等

∴点M的轨迹为抛物线，轨迹C的方程为：y2=2px．（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）

∵•=0

∴x1x2+y1y2=0

∵y12=2px1，y22=2px2

∴x1x2=4p2

∴=||2||2=(+)(+)

=(+2px1)(+2px2)

=[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥[(x1x2)2+2px1x2•2+4p2x1x2]=16p4

∴当且仅当x1=x2=2p时取等号，△AOB面积最小值为4p2．（9分）

（Ⅲ）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）

∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在轨迹C上

∴y32=2px3，y42=2px4

两式相减得：（y3-y4）（y3+y4）=2p（x3-x4）

∴y3+y4=2p=-2pk

∴y0=-pk

∵D（x0，y0）在m：y=k(x-)(k≠0)上

∴x0=-＜0，点D（x0，y0）在抛物线外

∴在轨迹C上不存在两点P，Q关于直线m对称．（14分）

（1）设P（x，y），由题设知

|y+1|=，

解得动点P的轨迹方程M为：x2=4y．

（2）设直线m的方程：y=kx+1，C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+1代入x2=4y，得

x2-4kx-4=0，则x1x2=-4，y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-4k2+4k2+1=1，

∴•=-3．

（3）命题A的逆命题：“若直线m交动点P的轨迹M于不同两点C，D，且 •=-3，则直线m过点B（0，1）”．

证明：设直线m的方程：y=kx+n C（x1，y1），D（x2，y2），把y=kx+n代入x2=4y，得

x2-4kx-4n=0，则x1x2=-4n，y1y2=k2x1x2+nk（x1+x2）+n2=-4nk2+4nk2+n2=n2，

∵•=（x1，y1）×（x2，y2）=x1x2+y1y2=-3，

∴-4n+n2=-3，

∴n=1或n=3，

即直线m过点（0，1 ）或（0，3），

∴逆命题是假命题．

设d是点M到定直线l：x=的距离，则d=|x-|，

依题，点M的轨迹就是集合P={M|=}，

由此得=，

化简整理得：-=1为点M的轨迹方程．