热门试卷

（1）设圆心P（x，y），∵圆P与直线y=-2相切，∴圆P的半径R=|y+2|．

又∵原P与定圆x2+（y-1）2=1内切，

∴|y+2|-1=}FP|，∴|y+1|=|FP|，

∴点P到定直线y=-1与到定点F（0，1）的距离相等，

∴点P的轨迹是抛物线x2=4y．即曲线E的方程为x2=4y．

（2）设斜率为2的直线与曲线E相切于点M（x0，y0）．

由曲线E的方程为x2=4y，∴y′=，∴切线的斜率为，

∴=2，即x0=4，∴y0==8，

∴切点为(4，8)．

∴切线方程为y-8=2(x-4)，化为2x-y-8=0．

∴原点到此切线的距离d==．

（Ⅰ）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1

当x＜-1时，f'（x）＜0，

当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，

当x＞1时，f'（x）＜0

所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4

所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．

（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），•=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4kPQ=-，所以=-，又PQ的中点在y=2（x-4）上，

所以=2(-4)

消去m，n得（x-8）2+（y+2）2=9

解：（Ⅰ）令f '（x）=（﹣x3+3x+2）'=﹣3x2+3=0

解得x=1或x=﹣1 当x＜﹣1时，f'（x）＜0，

当﹣1＜x＜1时，f'（x）＞0，

当x＞1时，f '（x）＜0

所以，函数在x=﹣1处取得极小值，在x=1取得极大值，

故x1=﹣1，x2=1，f（﹣1）=0，f（1）=4

所以，点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（1，4）．

（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），

  ，

所以 ，又PQ的中点在y=2（x﹣4）上，

所以  消去m，n 得（x﹣8）2+（y+2）2=9

（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），

∵MN与MC所在直线垂直，∴•=-1，（x≠0且x≠2），

当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，

∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，＜x＜．（6分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=•|ON|•|x2-x1|

将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，

∵x1+x2=，x1•x 2=

∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=，

∴f(k)=S2(k)+=，（10分）

∵由f′(k)==0，∴k=±，∵△＞0得＜k＜，

∴k=时，f（k）的最大值为．（14分）