热门试卷

（I）设P(x，y)代入||•||=•得=1+x，化简得y2=4x．（4分）

（II）将A（m，2）代入y2=4x得m=1，

∴点A的坐标为（1，2）．（5分）

设直线DE的方程为x=my+t代入y2=4x，得y2-4my-4t=0，设D（x1，y1），E（x2，y2）

则y1+y2=4m，y1•y2=-4t，△=（-4m）2+16t＞0（*）（6分）

∴•=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1•y2-2(y1+y2)+4=•-(+)+y1•y2-2(y1+y2)+5=-+y1•y2-2(y1+y2)+5=-+(-4t)-2(4m)+5=0化简得t2-6t+5=4m2+8m

即t2-6t+9=4m2+8m+4即（t-3）2=4（m+1）2

∴t-3=±2（m+1）

∴t=2m+5或t=-2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0（7分）

∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5

∴直线DE过定点（5，-2）（8分）

（1）设动点M的坐标为（x，y）．                  

∵抛物线y2=4x的焦点是F（1，0），直线l恒过点F，且与抛物线交于两点A、B，

又OM⊥AB，

∴⊥，即•=0．                   

∴（x，y）•（x-1，y）=0，化简，得x2+y2-x=0． 

又当M与原点重合时，直线l与x轴重合，故x≠0．

∴所求动点M的轨迹方程是x2+y2-x=0（x≠0）．

（2）设点C、D的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）．       

∵C、D在抛物线y2=4x上，

∴y12=4x1，y22=4x2，即x1+x2=，x1x2=．

又•=-4，

∴x1x2+y1y2=-4，即+y1y2=-4，解得y1y2=-8．    

∵点C、D的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），

∴直线CD的一个法向量是=(y1-y2，x2-x1)，

可得直线CD的方程为：（y1-y2）（x-x1）+（x2-x1）（y-y1）=0，

化简，得（y1-y2）x+（x2-x1）y+x1y2-y1x2=0，进一步用y1、y2分别替换x1、x2，有(y1-y2)x+(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．

又抛物线y2=4x上任两点的纵坐标都不相等，即y1-y2≠0．

∴直线CD的方程可化为x-y-2=0．  

∴直线CD恒过定点，且定点坐标为（2，0）．

解（1）设P（x，y），由题意知曲线C1为抛物线，并且有

=，

化简得抛物线C1的方程为：x2+y2-2xy-4x-4y=0．

令x=0，得y=0或y=4；再令y=0，得x=0或x=4，

所以，曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）、（0，4）和（4，0）．

点F（，）到l1：x+y+=0的距离为=2，

所以C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，

设直线l2的方程为y=k（x-m），代入y2=4x得

y2-y-4m=0，可得y1y2=-4m．

由=λ，得（m-x1，-y1）=λ（x2-m，y2），可得λ=-，

而N（-m，0），可得-λ=（x1+m，y1）-λ（x2+m，y2）=（x1-λx2+（1-λ）m，y1-λy2）

∵=（2m，0），

∴•（-λ）=2m[x1-λx2+（1-λ）m]=2m[+-+（1+）m]

=2m（y1+y2）•=2m（y1+y2）•=0

∴对任意的λ满足=λ，都有⊥（-λ）．