热门试卷

（1）证明：由绝对值不等式知，

ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x-x1|+|x2-x|+|y-y1|+|y2-y

≥|（x-x1）+（x2-x）|+|（y-y1）+（y2-y）|

=|x2-x1|+|y2-y1|

=ρ（A，B）

当且仅当（x-x1）•（x2-x）≥0，且（y-y1）•（y2-y）≥0时等号成立．

（2）由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得

（x-x1）•（x2-x）≥0且（y-y1）•（y2-y）≥0  （Ⅰ）

由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x-x1|+|y-y1|=|x2-x|+|y2-y|（Ⅱ）

因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，

不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，

由（Ⅱ）得y=，

此时，点C是线段AB的中点，即只有点C(，)满足条件；

2°若x1≠x2且y1=y2，

同理可得：只有AB的中点C(，)满足条件；

3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，

由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，

由（Ⅱ）得x+y=+，

此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点(，)，

斜率为-1的直线x+y=+夹在矩形AA1BB1之间的部分，

其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．

（1）由=(+)可得M为BC的中点（2分）

设B（x，y），则M（0，y），C（-x，0）（4分）

∵C为直角，故•=0

∵=(2x，y)，=(x，-8)

∴2x2-8y=0即x2=4y（5分）

B的轨迹曲线E的方程为x2=4y（（x≠0）6分）

（2）∵=

P是QN的中点

设Q（x1，y1），N（x2，y2），线段QN的 中点P（2，4）

设L：y-4=k（x-2）

方法一：则x12=4y1，x22=4y2

两式相减可得，4（y1-y2）=（x1-x2）（x1+x2）（8分）

∴直线l的斜率k===1（11分）

直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0

方法二：联立直线与曲线方程可得x2-4kx+8k-16=0（*）

△=16（k2-2k+4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）

∴x1+x2=4k=4

∴k=1

∴直线L的方程为x-y+2=0（12分）