动点的轨迹方程
共573题

· 动点的轨迹方程

动点的轨迹方程
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题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，有一个以F1(0，-)和F2(0，)为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量=+．求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；

（Ⅱ）||的最小值．

正确答案

（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，

所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=-

设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=-，得切线AB的方程为：

y=-（x-x0）+y0．

设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．

由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

+=1（x＞1，y＞2）

（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，

∴||2=x2-1++5≥4+5=9．

且当x2-1=，即x=＞1时，上式取等号．

故||的最小值为3．

题型：填空题

填空题

已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设=+，则点M的轨迹方程______．

正确答案

设点P（m，n），由题意得 Q（m，0 ），m2+n2=1 ①，

设点 M（x，y ）．

∵=+，∴（ x，y ）=（m，n）+（m，0 ）=（2m，n ），

∴x=2m，y=n，即 m=，且 n=y ②．

把②代入①得 +y2=1，

故答案为 +y2=1．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA，

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（Ⅰ）设点P（x，y）为所求轨迹上的任意一点，

则由得，

整理得轨迹C的方程为（且）。

（Ⅱ）设，

由可知直线PQ∥OA，

则，故，

即，

由O、M、P三点共线可知，与共线，

∴，

由（Ⅰ）知，

故，

同理，由与共线，

∴，

即，

由（Ⅰ）知，故，

将代入上式得，

整理得，

由得，

由，得到，

因为PQ∥OA，所以，

由，得，

∴P的坐标为（1，1）。

题型：简答题

简答题

已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x2+y2-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．

（1）求（a-4）（b-4）的值；

（2）求线段AB的中点的轨迹方程；

（3）求△AOM的面积S的最小值．

正确答案

（1）直线AB的方程为+=1，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即=2．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．

（2）设M（x，y），则，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）

（3）S△AOM=a•=(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2+6=4+6．

当且仅当a=b=4+2时面积取最小值6+4．

题型：简答题

简答题

已知两定点A（-2，0），B（1，0），动点P（x，y）满足|PA|=2|PB|．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）求的取值范围；

（3）设点S在过点A且垂直于x轴的直线l上运动，作SM，SN与轨迹C相切（M，N为切点）．

①求证：M，B，N三点共线；

②求•的最小值．

正确答案

（1）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，设P点的坐标为（x，y），

则（x+2）2+y2=4[（x-1）2+y2]，即（x-2）2+y2=4，

所以点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，

（2）=表示P（x，y）与定点（-2，0）所连直线的斜率

而点P（x，y）在圆（x-2）2+y2=4，上运动，

设=k即y=k（x+2），即kx-y+2k=0，圆心（2，0）到此直线的距离为：

d=，令d=2得=2⇒k=±，

结合图形易求得的取值范围为[-，]．

（3）①如图，由题意知直线MN可看成是以SC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线，

设S（-2，t），C（2，0），则以SC为直径的圆的方程为：

x2+（y-）2=22+（0-）2即x2+y2-ty-4=0，又（x-2）2+y2=4

两者作差，得：4x-ty-4=0，此方程即为直线MN的方程，

令y=0得x=1，即直线MN过点B（1，0），

从而M，B，N三点共线；

②•=||•||cos2∠MSC

=|| 2•(1-2sin 2∠MSC)

=(SC2-MC2) (1-2×)

设SC=m，由于MC=2，且m≥4，

∴•=m2+-12，此函数在m≥4时是单调增函数，

当且仅当m=4时，它取得最小值，最小值为：m2+-12=42+-12=6．

故•的最小值6．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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