热门试卷

解（1）设点M的坐标为（x，y），

由=-．得P(0，-)，Q(，0)，

由•=0，得(3，-)•(x，)=0，

所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，

所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．

（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2-2）x+k2=0①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=1

所以，线段AB的中点坐标为(，)，线段AB的垂直平分线方程为y-=-(x-)，

令y=0，x0=+1，所以，点E的坐标为(+1，0)．

因为△ABE为正三角形，所以，点E(+1，0)到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|==•．

所以，=解得k=±，所以x0=．

解．（1）∵双曲线-x2=1的上支可表示为函数y=，且y′=×=

设P（x0，y0）是双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线为y-y0=（x-x0）

即y-y0=（x-x0），即y0y-3x0x=3，

与渐近线方程y=x联立，解得A(，)（由于P不在双曲线的渐近线上，故y0±x0≠0）；

与渐近线y=-x联立，解得B(，)，

∴•=+=+=2（定值）

（2）设M（x，y）为所求轨迹上一点，由=知=+，由（1）有

即

再由P（x0，y0）在双曲线-x2=1 （y＞0）上

∴-=1，

∴-=1

故所求轨迹为-=1(y＞0)．

（本题满分12分）

（Ⅰ）直线PA和PB的斜率分别为与，（x≠±），…（2分）

∵点P（x，y）与点A(-，0)，B(，0)连线的斜率之积为1，

∴• =1，

即y2=x2-2，…（4分）

所求点P的轨迹方程为x2-y2=2，（x≠±）．…（5分）

（Ⅱ）设E（x1，y1），F（x2，y2），

设过点Q（2，0）的直线为y=k（x-2），…（6分）

将它代入x2-y2=2，

得（k2-1）x2-4k2x+4k2+2=0．…（7分）

由韦达定理，得，…（8分）

∴•=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)

=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2

=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)

=（1+k2）x1x2-（1+2k2）（x1+x2）+1+4k2

=（1+k2）•-（1+2k2）•+1+4k2

=-1．    …（10分）

当直线斜率不存在时，

，解得E（2，），F（2，-），

此时•=(1，)•(1，-)=-1．    …（12分）

故•=-1．

所以•为常数-1．…（12分）