- 动点的轨迹方程
- 共573题
求曲线方程
（Ⅰ）圆C的圆心在x轴上，并且过点A（-1，1）和B（1，3），求圆C的方程；
（Ⅱ）若一动圆P过定点A（1，0）且过定圆Q：（x+1）2+y2=16相切，求动圆圆心P的轨迹方程．
正确答案
（Ⅰ）因为圆C的圆心在X轴上，故设方程为：（x-a）2+y2=r2，
点A（-1，1）和B（1，3）代入方程可得
∴圆C的方程为（x-2）2+y2=10；
（Ⅱ）由题意两圆内切，因此动圆圆心到两定点A（1，0）和（-1，0）的距离之和为已知圆的半径4（定值），所以符合椭圆的定义，且a=2，c=1，
∴b2=a2-c2=3
∴所求动圆的轨迹方程为
已知z=t+3+3
（1）求t的对应点的轨迹；
（2）求|z|的最大值和最小值．
正确答案
（1）设t=x+yi（x，y∈R），
则
∵
∴
∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去（-3，0），（3，0）两点；
（2）由t的轨迹可知，|t|=3，
∴|z-(3+3
∴|z|的最大值为：|3+3
|z|的最小值为：|3+3
动圆x2+y2-（4m+2）x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是 ______．
正确答案
把圆的方程化为标准方程得[x-（2m+1）]2+（y-m）2=m2（m≠0）
则圆心坐标为
故答案为：x-2y-1=0（x≠1）
通过点A（0，a）的直线y=kx+a与圆（x-2）2+y2=1相交于不同的两点B、C，在线段BC上取一点P，使|BP|：|PC|=|AB|：|AC|，设点B在点C的左边，
（1）试用a和k表示P点的坐标；
（2）求k变化时P点的轨迹；
（3）证明不论a取何值时，上述轨迹恒过圆内的一定点．
正确答案
（1）设B（x1，y1），c（x2，y2），P（x，y），
依题意知，
∴
由直线方程代入圆方程，整理得，（1+k2）x2+（2ak-4）x+（a2+3）=0
由x1+x2=
得x=
（2）由x，y的表达式中消去k得2x-ay-3=0，
∴点P的轨迹是直线2x-ay-3=0在圆内的部分．…（8分）
（3）证明：直线2x-ay-3=0恒过定点M（
∴该点在圆内
∴P点的轨迹恒过圆内的一定点 …（10分）
已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足|
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+（y-2）2=4的位置关系．
正确答案
（1）设P（x，y），则
由|
得2
化简得y2=4x．
所以动点P的轨迹方程为y2=4x．（5分）
（2）由点A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（7分）
当m≠4时，直线AK的方程为y=
圆心（0，2）到直线AK的距离d=
令d=
令d=
令d=
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相交；
当m=1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相切；
当m＞1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（14分）
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