- 动点的轨迹方程
- 共573题
已知与圆C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a与b满足的关系；
（2）在 （1）的条件下，求线段AB中点的轨迹方程．
正确答案
①⊙C可化为：（x-1）2+（y-1）2=1
圆心C（1，1），r=1（3分）
由题意，直线l的方程可设为
即 bx+ay-ab=0
∵直线与圆相切∴
整理得（a-2）（b-2）=2（a＞2，b＞2）（8分）
②设线段AB的中点M（x，y）
则
将a=2x，b=2y代入得：(x-1)(y-1)=
设Q是直线y=-1上的一个动点，O为坐标原点，过Q作x轴的垂线l，过O作直线OQ的垂线交直线l于P．
（1）求点P的轨迹C的方程．
（2）过点A（-2，4）作圆B：x2+（y-2）2=1的两条切线交曲线C于M、N两点，试判断直线MN与圆B的位置关系．
正确答案
（1）设P（x，y），
则Q（x，-1），
由OP⊥OQ，得
由此能得到P点的轨迹C的方程为x2=y．
（2）：设过点A（-2，4）的直线为y=k（x+2）+4，
把直线方程y=k（x+2）+4代入抛物线方程y=x2．
得x2-kx-2k-4=0，
可得另一个根为x'=k+2，
由相切知3k2+8k+3=0．
设k1，k2是方程的两个根，
由根与系数的关系能导出直线MN的方程为4x-3y+1=0，
由此知直线MN与圆B相切．
已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且|AB|=2．
（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；
（2）求过点M（1，2）且和轨迹C相切的直线方程．
正确答案
（1）设P（x，y），∵|AB|=2，且P为AB的中点，∴|OP|=1，∴点P的轨迹方程为x2+y2=1．
（2）①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，由条件易得x=1符合条件；
②当切线的斜率存在时，设切线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，由
解得k=
综上，过点M（1，2）且和轨迹C相切的直线方程为：x=1或3x-4y+5=0．
已知圆C：x2+y2=5，及点A（1，-2），Q（0，4）．
（1）求过点A的圆的切线方程；
（2）如果P是圆C上一个动点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
正确答案
（1）设切线斜率为k，则切线方程为kx-y-k-2=0，所以
所以切线方程为x-2y-5=0；
（2）：设PQ中点M（x，y），则P（2x，2y-4），代入圆C：x2+y2=5，得4x2+（2y-4）2=5．
线段PQ的中点M的轨迹方程：x2+（y-2）2=
（文）已知一个动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1外切，同时又与圆M2：（x-1）2+y2=25内切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（II）设经过圆M1的圆心且不与坐标轴垂直的直线交（Ⅰ）中的轨迹C于两点A、B，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求G点横坐标的取值范围．
正确答案
（I）不妨记圆M1，M2的圆心分别为M1，M2
由题意可知，动圆M与定圆与定圆M1相外切与定圆M2相内切
∴MM1=r+1，MM2=5-r（2分）
∴MM1+MM2=6＞M1M2=2（3分）
∴动圆圆心M的轨迹是以M1，M2为焦点的椭圆
由椭圆的定义可知，c=1，a=3，b2=a2-c2=8（4分）
∴所求的轨迹C的方程为
（II）由题意可知，直线AB过圆M1的圆心且不与坐标轴垂直，故可设直线AB的方程为y=k（x+1），k≠0
联立
∴
设线段AB的中点为P（x0，y0），则x0=
过点P（x0，y0）且垂直于AB的直线l2的方程为
y-
令y=0可得点G的横坐标x=-
∴-
∴所求的x的范围是(-
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