热门试卷

①∵a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量，且，

∴有：⇒（x-a）2+（y-b）2=r2．                         …（3分）

所以，在直角坐标系中，表示的是以（a，b）为圆心，r为半径的圆．            …（6分）

②∵点P为圆C：（x-2）2+（y-3）2=4上任意一点，故由①可设点P的坐标为（2+2cosθ，3+2sinθ）．      …（8分）

∴=(2+2cosθ，3+2sinθ)，=(1+2cosθ，3+2sinθ)．   …（10分）

故•=(2+2cosθ)(1+2cosθ)+(3+2sinθ)2

⇒•=15+6cosθ+12sinθ=15+6sin(θ+φ)…（12分）

又∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴15-6≤•≤15+6．     …（13分）

（I）由题意得 圆心F（1，0），半径等于下，|PA|=|PB|，

∴|PF|+|PA|=|PF|+|PB|=|BF|=半径下＞|AF|，故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，

下a=下，c=1，∴b=1，∴椭圆的方程为 +y下=&二bsp;1．

（II）&二bsp;设存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y=kx+下，设 R （x1，y1&二bsp;），

T（x下，y下），∵•=0，∴x1x下+y1y下=0&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;&二bsp;①．

把线l的方程 y=kx+下代入椭圆方程化简可得 （下k下+1）x下+8kx+6=0，∴x1+x下=，

x1x下=，∴y1y下=（kx1+下）（kx下+下）=k下x1x下+下k（x1+x下）+4，

∴x1x下+y1y下=（k下+1）+下k +4==0，

∴k=&二bsp; 或-．满足△＞0，故存在满足条件的直线l，其方程为 y=±&二bsp;x=下，

即 &二bsp;x-y+下=0，或 &二bsp;x+y-下=0．

（I）由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4＞2=|AB|=2c，（3分）

∴由定义得P点轨迹是椭圆，

且b2=a2-c2=3．

因此，曲线E的方程为+=1.（5分）

（II）由条件知直线CM，CN的斜率存在且不为0，

设直线CM的方程为y=k(x+1)+，

由消去y，

整理得（4k2+3）x2+4k（2k+3）x+4k2+12k-3=0

∵C在椭圆上，

∴方程两根为-1，x1∴-x1=，x1=-.（9分）

∵直线PM，PN的倾斜角互补，

∴直线PM，PN的斜率互为相反数，

∴x2=-.（11分）

则x1-x2=，x1+x2=.

又y1=k(x1+1)+，y2=-k(x2+1)+，

∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=.

∴直线MN的斜率KMN==-（定值）（13分）