- 分段函数模型的应用
- 共567题
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且日销量近似满足g（t）=80-2t（件），当日价格近似满足f（t）=
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
正确答案
解：（1）该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式为：
y=g（t）•f（t）=
（2）当0≤t＜10时，y=（30+t）（40-t）=-（t-5）2+1225，
∴y的取值范围是[1200，1225]，在t=5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y=（50-t）（40-t）=（t-45）2-25，
∴y的取值范围是[600，1200]，在t=10时，y取得最小值为1200．
∴第5天时，日销售额y取得最大，为1225元．
第10天时，日销售额y取得最小，为1200元．
解析
解：（1）该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式为：
y=g（t）•f（t）=
（2）当0≤t＜10时，y=（30+t）（40-t）=-（t-5）2+1225，
∴y的取值范围是[1200，1225]，在t=5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y=（50-t）（40-t）=（t-45）2-25，
∴y的取值范围是[600，1200]，在t=10时，y取得最小值为1200．
∴第5天时，日销售额y取得最大，为1225元．
第10天时，日销售额y取得最小，为1200元．
（Ⅰ）求f（x）的解析式
（Ⅱ）若f（t）=3，求t的值．
正确答案
解：（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=ax+b，
由f（-1）=0，f（0）=-3，可得a=b=-3；
当x＞0时，f（x）=logc（x+
由f（0）=-3，可得logc（0+
∴f（x）=
（Ⅱ）t≤0时，f（t）=-3t-3=3，∴t=-2；
t＞0时，f（t）=log2（t+
综上所述，t的值为-2或
解析
解：（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=ax+b，
由f（-1）=0，f（0）=-3，可得a=b=-3；
当x＞0时，f（x）=logc（x+
由f（0）=-3，可得logc（0+
∴f（x）=
（Ⅱ）t≤0时，f（t）=-3t-3=3，∴t=-2；
t＞0时，f（t）=log2（t+
综上所述，t的值为-2或
设函数f（x），g（x）的定义域分别为D1，D2，且D1⊊D2．若对于任意x∈D1，都有g（x）=f（x），则称g（x）为f（x）在D2上的一个延拓函数．给定f（x）=x2-1（0＜x≤1）．
（Ⅰ）若h（x）是f（x）在[-1，1]上的延拓函数，且h（x）为奇函数，求h（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）为f（x）在（0，+∞）上的任意一个延拓函数，且y=
（ⅰ）判断函数y=
（ⅱ）设s＞0，t＞0，证明：g（s+t）＞g（s）+g（t）．
正确答案
解：（Ⅰ）当x=0时，由h（x）为奇函数，得h（0）=0．…1分
任取x∈[-1，0），则-x∈（0，-1]，
由h（x）为奇函数，得h（x）=-h（-x）=-[（-x）2-1]=-x2+1，…3分
所以h（x）的解析式为 h（x）=
（Ⅱ）（ⅰ）函数y=
证明如下：
因为g（x）为 f（x）在（0，+∞）上的一个延拓函数，
所以当x∈（0，1]时，g（x）=f（x）=x2-1．
记k（x）=
所以函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．…8分
（ⅱ）由y=
因为s＞0，t＞0，所以s+t＞s，s+t＞t，
所以
同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．
将上述两个不等式相加，并除以s+t，即得g（x+t）＞g（s）+g（t）．…13分
解析
解：（Ⅰ）当x=0时，由h（x）为奇函数，得h（0）=0．…1分
任取x∈[-1，0），则-x∈（0，-1]，
由h（x）为奇函数，得h（x）=-h（-x）=-[（-x）2-1]=-x2+1，…3分
所以h（x）的解析式为 h（x）=
（Ⅱ）（ⅰ）函数y=
证明如下：
因为g（x）为 f（x）在（0，+∞）上的一个延拓函数，
所以当x∈（0，1]时，g（x）=f（x）=x2-1．
记k（x）=
所以函数g（x）是（0，+∞）上的增函数．…8分
（ⅱ）由y=
因为s＞0，t＞0，所以s+t＞s，s+t＞t，
所以
同理可得：t•g（s+t）＞（s+t）g（t）．
将上述两个不等式相加，并除以s+t，即得g（x+t）＞g（s）+g（t）．…13分
（2015秋•天津期末）已知定义在R上的函数f（x）=x2+|x-m|（m为实数）是偶函数，记a=f（log
正确答案
解析
解：由f（x）为R上的偶函数，可得
f（-x）=f（x），即为x2+|x-m|=x2+|-x-m|，
求得m=0，
即f（x）=x2+|x|，
当x＞0时，f（x）=x2+x递增，
由a=f（log
b=f（log3π），c=f（em）=f（e0）=f（1），
又log3π＞1＞log3e，
可得f（log3π）＞f（1）＞f（log3e），
即有b＞c＞a．
故选：B．
（2015•河南模拟）函数f（x）=
正确答案
[0，2]
解析
解：①当a=0时，f（x）=
当x∈[-1，0]时，f（x）的最小值为0，f（0）=0，
f（x）≥f（0）恒成立；
②当a＜0时，当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）2的最小值为0，此时x=a，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+
若a＜-1，则f（x）的最小值为2+a，此时x=1，
若-1≤a＜0，则f（x）的最小值为|a|+
又f（0）=a2，由于f（x）≥f（0）恒成立，则若f（x）的最小值为0，显然不成立，
若f（x）的最小值为2+a，则2+a≥a2，解得-1≤a≤2这与a＜-1矛盾，不成立，
即有a＜0不成立；
③当a＞0时，若0＜a≤2时，
当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）2的最小值为a2，此时x=0，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+
则当0＜a≤2时，a2-2a-
而f（0）=a2，则f（x）≥f（0）恒成立；
若a＞2，则当x∈[-|a|-1，0]时，f（x）=（x-a）2的最小值为a2，此时x=0，
当x∈（0，|a|]时，f（x）=x+
则a2-2-a＞0，即有f（x）的最小值为2+a，
而f（0）=a2，则f（x）≥f（0）不成立．
综上可得，a的取值范围为[0，2]．
故答案为：[0，2]．
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