- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知f （x）=
正确答案
1
解析
解：∵g（x）=
∴g（1）=1，
∵f （x）=
∴f[g（1）]=f（1）=1．
故答案为：1．
已知函数f（x）=
正确答案
1
解析
解：由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=4+2a=6，
∴a=1．
故答案为：1．
下列给出的式子是分段函数的是______
①f（x）=
②f（x）=
③f（x）=
④f（x）=
正确答案
①④
解析
解：对于①，定义域为[-1，10]∪（-∞，-1）=（-∞，10]，[-1，10]∩（-∞，-1）=∅，则①为分段函数；
对于②，定义域为R∪[2，+∞）=R，R∩[2，+∞）=[2，+∞）≠∅，则②不为分段函数；
对于③，定义域为[1，5]∪（-∞，1]=（-∞，5]，[1，5]∩（-∞，1]={1}，且f（1）=1和5，则③不为分段函数；
对于④，定义域为（-∞，0）∪[5，+∞），（-∞，0）∩[5，+∞）=∅，则④为分段函数．
故答案为：①④．
小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x（kg）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？
正确答案
解：（1）由题意，得
当0＜x≤1时，
y=22+6=28；
当x＞1时，
y=28+10（x-1）=10x+18．
∴y=
（2）当x=2.5时，
y=10×2.5+18=43．
∴这次快寄的费用是43元．
解析
解：（1）由题意，得
当0＜x≤1时，
y=22+6=28；
当x＞1时，
y=28+10（x-1）=10x+18．
∴y=
（2）当x=2.5时，
y=10×2.5+18=43．
∴这次快寄的费用是43元．
已知函数f（x）=x2-2|x-a|（a∈R）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值
（2）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≤2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）由函数y=f（x）为偶函数可知，
对任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）2-2|-x-a|=x2-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|对任何x恒成立，
平方得：4ax=0对任何x恒成立，
而x不恒为0，则a=0；
（2）将不等式f（x-1）≤2f（x），
化为（x-1）2-2|x-1-a|≤2x2-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x2+2x-1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
①当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为 x2+4x+1-2a≥0，
对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1-2a 在（0，a]为单调递增，
只需g（x）min=g（0）=1-2a≥0，解得0＜a≤
②当 a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2-4x+1+6a≥0，
对a＜x≤a+1上恒成立，由①可知0＜a≤
则h（x）=x2-4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，
只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a-2≥0 得：a≤-
即
③当 x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a-3≥0对x＞a+1恒成立
则t（x）=x2+2a-3 在（a+1，+∞） 为单调递增，
由②可知
综上实数a的取值范围为：
解析
解：（1）由函数y=f（x）为偶函数可知，
对任何x都有f（-x）=f（x），
得：（-x）2-2|-x-a|=x2-2|x-a|，
即|x+a|=|x-a|对任何x恒成立，
平方得：4ax=0对任何x恒成立，
而x不恒为0，则a=0；
（2）将不等式f（x-1）≤2f（x），
化为（x-1）2-2|x-1-a|≤2x2-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≤x2+2x-1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
①当0≤x≤a 时，将不等式（*）可化为 x2+4x+1-2a≥0，
对0≤x≤a上恒成立，则g（x）=x2+4x+1-2a 在（0，a]为单调递增，
只需g（x）min=g（0）=1-2a≥0，解得0＜a≤
②当 a＜x≤a+1时，将不等式（*）可化为x2-4x+1+6a≥0，
对a＜x≤a+1上恒成立，由①可知0＜a≤
则h（x）=x2-4x+1+6a 在（a，a+1]为单调递减，
只需h（x）min=h（a+1）=a2+4a-2≥0 得：a≤-
即
③当 x＞a+1时，将不等式（*）可化为x2+2a-3≥0对x＞a+1恒成立
则t（x）=x2+2a-3 在（a+1，+∞） 为单调递增，
由②可知
综上实数a的取值范围为：
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