- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知函数f（x）=
，则实数a的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：∵对任意x1，x2∈R（x1≠x2），恒有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，
∴函数f（x）=
∴
解得，4≤a＜8，
故选B．
数列{an}满足：an=
A（
B[
C（1，4）
D（2，4）
正确答案
解析
解：要使{an}是递增数列，
必有
解得，2＜a＜4．
故选：D．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：由分段函数可得f（0）=ka，
当x＜0时，f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
若对任意的非零的实数x1，存在唯一的非零的实数x2（x2≠x1），使得f（x2）=f（x1）成立，
则知函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当x≥0时，f（x）=k（x+a），此时对应直线和x轴的交点为（-a，0），
若a＜0，则不满足函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，
当a=0时，f（x）=
故a＞0，
而由-a2-1=ka知，
k=
（当且仅当a=
故k的最大值为-2，
故选：B
某出版公司为一本畅销书定价如下：C（n）=
（1）有多少个n，会出现买多于n本书比恰好买n本书所花钱少？
（2）若一本书的成本价是5元，现在甲、乙两人来买书（甲、乙不合买），每人至少买1本，甲买的书不多于乙买的书，两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱？最多能赚多少钱？
正确答案
解：（1）由于C（n）在各段上都是单调增函数，因此在第一段上不存在买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的问题，一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的现象．
C（25）=11×25=275，C（23）=12×23=276，∴C（25）＜C（23）．
C（24）=12×24=288，∴C（25）＜C（24）．
C（49）=49×10=490，C（48）=11×48=528，∴C（49）＜C（48）．
C（47）=11×47=517，∴C（49）＜C（47），C（46）=11×46=506，
∴C（49）＜C（46），C（45）=11×45=495，∴C（49）＜C（45）．
∴这样的n有23，24，45，46，47，48，共6个．
（2）设甲买n本书，则乙买60-n本，且n≤30，n∈N*
①当1≤n≤11时，49≤60-n≤59，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+10（60-n）-5×60=2n+300．
②当12≤n≤24时，36≤60-n≤48，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+11（60-n）-5×60=n+360．
③当25≤n≤30时，30≤60-n≤35，
出版公司赚得钱数f（n）=11×60-5×60=360．
∴f（n）=
∴当1≤n≤11时，302≤f（n）≤322；当12≤n≤24时，372≤f（n）≤384；
当25≤n≤30时，f（n）=360．
故出版公司至少能赚302元，最多赚384元．
解析
解：（1）由于C（n）在各段上都是单调增函数，因此在第一段上不存在买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的问题，一定是各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好买n本书所花钱少的现象．
C（25）=11×25=275，C（23）=12×23=276，∴C（25）＜C（23）．
C（24）=12×24=288，∴C（25）＜C（24）．
C（49）=49×10=490，C（48）=11×48=528，∴C（49）＜C（48）．
C（47）=11×47=517，∴C（49）＜C（47），C（46）=11×46=506，
∴C（49）＜C（46），C（45）=11×45=495，∴C（49）＜C（45）．
∴这样的n有23，24，45，46，47，48，共6个．
（2）设甲买n本书，则乙买60-n本，且n≤30，n∈N*
①当1≤n≤11时，49≤60-n≤59，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+10（60-n）-5×60=2n+300．
②当12≤n≤24时，36≤60-n≤48，
出版公司赚得钱数f（n）=12n+11（60-n）-5×60=n+360．
③当25≤n≤30时，30≤60-n≤35，
出版公司赚得钱数f（n）=11×60-5×60=360．
∴f（n）=
∴当1≤n≤11时，302≤f（n）≤322；当12≤n≤24时，372≤f（n）≤384；
当25≤n≤30时，f（n）=360．
故出版公司至少能赚302元，最多赚384元．
某水果产地批发水果，每kg0.4元，100kg为批发起点；100kg至1000kg 9折优惠；1000kg至5000kg，超过1000kg的部分8折优惠；超过5000kg，超过部分7折优惠．
（1）请写出销售额y与销售量x之间的函数关系；
（2）某人用2000元能批发多少kg这种水果？
正确答案
解：（1）依题意，当100≤x＜1000时，y=0.4×0.9x=0.36x；
当1000≤x＜5000时，y=1000×0.4×0.9+（x-1000）×0.4×0.8
=0.32x+40（4分）
当x≥5000时，y=1000×0.4×0.9+4000×0.4×0.8+（x-5000）×0.4×0.7
=0.28x+240（6分）
即：y=
（2）0.32x+40=2000，x=6125
0.28x+240=2000，x=6285.7
答：可以买到6285.7kg水果．（12分）
解析
解：（1）依题意，当100≤x＜1000时，y=0.4×0.9x=0.36x；
当1000≤x＜5000时，y=1000×0.4×0.9+（x-1000）×0.4×0.8
=0.32x+40（4分）
当x≥5000时，y=1000×0.4×0.9+4000×0.4×0.8+（x-5000）×0.4×0.7
=0.28x+240（6分）
即：y=
（2）0.32x+40=2000，x=6125
0.28x+240=2000，x=6285.7
答：可以买到6285.7kg水果．（12分）
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