- 分段函数模型的应用
- 共567题
某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）；销售收入R（x）（万元）满足：
（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围内；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
（3）当盈利最多时，求每台产品的售价．
正确答案
解：（1）由题意，g（x）=x+2，设利润函数为f（x），
则f（x）=R（x）-g（x）=
由f（x）＞0得，
1＜x≤5或5＜x＜8.2，
故1＜x＜8.2，
故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．
（2）当0≤x≤5时，f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，
故当x=4时有最大值3.6；
当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2；
故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．
（3）当x=4时，
R（4）=9.6（万元），
故盈利最多时，每台产品的售价为240元．
解析
解：（1）由题意，g（x）=x+2，设利润函数为f（x），
则f（x）=R（x）-g（x）=
由f（x）＞0得，
1＜x≤5或5＜x＜8.2，
故1＜x＜8.2，
故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．
（2）当0≤x≤5时，f（x）=-0.4（x-4）2+3.6，
故当x=4时有最大值3.6；
当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2；
故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．
（3）当x=4时，
R（4）=9.6（万元），
故盈利最多时，每台产品的售价为240元．
已知函数f（x）=
Ak≤0或k＞1
Bk＞1或k=0或k＜-1
Ck＞
Dk＞
正确答案
解析
若k=0时．直线y=kx-k=0，此时满足两个函数图象只有一个 交点，
即方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一个实根，满足条件．
若k＜-1时，方程方程f（x）-kx+k=0有且只有一个实根，满足条件．
当k＞0时，当直线和双曲线相切时，有，
由
即x2-4=k2x2-2k2x+k2，
即（1-k2）x2+2k2x-（4+k2）=0，
判别式△=4k4+4（1-k2）（4+k2）=0，
整理得3k2-4=0，
解得k2=
∴要使f（x）-kx+k=0有且只有一个实根，则此时k＞
综上满足条件的k的取值范围是k＞
故选：C．
已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（Ⅰ）当a=1时，f2（x）=|3x-9|．
因为当x∈（0，log35）时，f1（x）=3x-1，f2（x）=9-3x，
且f1（x）-f2（x）=2•3x-10＜2•3log35-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log35）时，f（x）=3x-1，且1∈（0，log35）（3分）
由于f‘（x）=3xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）
（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以
①当
所以由f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（3x-1）=（a-1）3x-8≤0，解得
从而当
②当
所以由f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（3x-1）=10-（a+1）3x≤0，解得
从而当
③当x＜0时，因为f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，
从而f（x）=f2（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当
故
从而当a=2时，l取得最大值为
（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）”
等价于“f2（x）≤f1（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，
则（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，
（1）当
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当
所以
由（1）（2）（3），得
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是
解析
解：（Ⅰ）当a=1时，f2（x）=|3x-9|．
因为当x∈（0，log35）时，f1（x）=3x-1，f2（x）=9-3x，
且f1（x）-f2（x）=2•3x-10＜2•3log35-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log35）时，f（x）=3x-1，且1∈（0，log35）（3分）
由于f‘（x）=3xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）
（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以
①当
所以由f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（3x-1）=（a-1）3x-8≤0，解得
从而当
②当
所以由f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（3x-1）=10-（a+1）3x≤0，解得
从而当
③当x＜0时，因为f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，
从而f（x）=f2（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当
故
从而当a=2时，l取得最大值为
（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）”
等价于“f2（x）≤f1（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，
则（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，
（1）当
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当
所以
由（1）（2）（3），得
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是
已知f（x）=
正确答案
[log32，1]
解析
解：当t∈（0，1]，所以f（t）=3t∈（1，3]，
又函数f（x）=
则f（f（t）=log2（3t-1），
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤log2（3t-1）≤1，即1≤3t-1≤2，
解得：log32≤t≤1，
则实数t的取值范围[log32，1]；
当1＜t≤3时，f（t）=log2（t-1）∈（-∞，1]，
由于f（f（t））∈[0，1]，
即有0≤
解得1＜t≤2．
此时f（t）=log2（t-1）≤0，f（f（t））不存在．
综上可得t的取值范围为[log32，1]．
故答案为：[log32，1]．
定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）-2，当x∈（0，2]时，f（x）=
A[1，2]
B[2，
C[1，
D[2，+∞）
正确答案
解析
解：当x∈（2，3），则x-2∈（0，1），
则f（x）=2f（x-2）-2=2（x-2）2-2（x-2）-2，即为
f（x）=2x2-10x+10，
当x∈[3，4]，则x-2∈[1，2]，
则f（x）=2f（x-2）-2=
当x∈（0，1）时，当x=
当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为
当x∈（2，3）时，当x=
当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为-1．
综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为-
若x∈（0，4]时，t2-
则有t2-
解得1≤t≤
故选：C．
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