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题型: 单选题
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单选题

已知函数f(x)=(a为常数且a>0),对于下列结论:

①函数f(x)的最小值为-2;

②函数f(x)在R上是单调函数;

③若f(x)>0在[1,+∞)上恒成立,则a的取值范围为(2,+∞);

④当x≠0时,xf′(x)>0(这里f′(x)是f(x)的导函数).

其中正确的是(  )

A①③④

B①②③

C①④

D③④

正确答案

A

解析

解:画出函数f(x)的图象,通过图象观察得到:

①函数f(x)的最小值为-2,故①正确;

②函数f(x)在R上不是单调函数,故②错;

③f(x)>0在[1,+∞)上恒成立,则a-2>0,

∴a>2,故③正确;

④x<0,f(x)为单调减函数;x>0时,f(x)为增函数.故对一切非零实数x,xf′(x)>0成立,故④正确;

故选:A.

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题型: 单选题
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单选题

已知函数f(x)=(a∈R),则下列结论正确的是(  )

A∃a∈R,f(x)在R上单调递减

B∃A∈R,f(x)的最小值为f(a)

C∀a∈R,f(x)有极大值和极小值

D∀a∈R,f(x)有唯一零点

正确答案

D

解析

解:A.由于x≤0时,y=-(x是单调递增函数,故A错;

B.由于x≤0时,y=-(x是单调递增函数,故f(x)无最小值,B错;

C若a=0,则f(x)在(-∞,0]上递增,在(0,+∞)上递增,且连续,

故f(x)在R上递增,故f(x)无极值,即C错;

D.令f(x)=0,则x2-2ax-1=0(x>0),解得x=a±

若a>0,则a+>0,a-<0;

若a=0,a+>0,a-<0;

若a<0,a+>0,a-<0.

则∀a∈R,f(x)有唯一零点,故D正确.

故选:D.

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题型: 单选题
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单选题

已知函数f(x)=,若存在x1,x2,当0≤x1<4≤x2≤6时,f(x1)=f(x2),则x1•f(x2)的取值范围是(  )

A[0,1)

B[1,4]

C[1,6]

D[0,1]∪[3,8]

正确答案

B

解析

解:当0≤x1<4≤x2≤6时,因为f(x1)=f(x2),由f(x1)=f(x2)=1或f(x1)=f(x2)=2,得到x1的取值范围是[1,3],

所以x1•f(x2)=x1•f(x1)=x1(1-|x1|-2)=,即x1f(x2)的范围是[1,4].

故选B.

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题型:简答题
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简答题

设定义域为R的函数f(x)=,f(2)=4,f(-3)=f(-1)=1.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7个不同的实数解,求实数m的值.

正确答案

解:(1)由题意,f(2)=a=4;

f(-3)=9-3b+c=1,

f(-1)=1-b+c=1;

则a=4,b=4,c=4;

故f(x)=

(2)作f(x)=的图象如下,

则若使关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7个不同的实数解,

则t2-(2m+1)t+m2=0有两个不同的实数解,且有一个解为1或4;

若1是t2-(2m+1)t+m2=0得解,

则1-(2m+1)+m2=0;

故m=0或m=2;

若m=0,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为1,0;不成立;

若m=2,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为1,4;由图知不成立;

若4是t2-(2m+1)t+m2=0得解,

则16-4(2m+1)+m2=0;

故m=6或m=2;

若m=6,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为4,9;不成立;

故不存在.

解析

解:(1)由题意,f(2)=a=4;

f(-3)=9-3b+c=1,

f(-1)=1-b+c=1;

则a=4,b=4,c=4;

故f(x)=

(2)作f(x)=的图象如下,

则若使关于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7个不同的实数解,

则t2-(2m+1)t+m2=0有两个不同的实数解,且有一个解为1或4;

若1是t2-(2m+1)t+m2=0得解,

则1-(2m+1)+m2=0;

故m=0或m=2;

若m=0,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为1,0;不成立;

若m=2,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为1,4;由图知不成立;

若4是t2-(2m+1)t+m2=0得解,

则16-4(2m+1)+m2=0;

故m=6或m=2;

若m=6,则t2-(2m+1)t+m2=0的两个解为4,9;不成立;

故不存在.

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题型: 单选题
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单选题

设若f(x)=,f(f(1))=8,则a的值是(  )

A-1

B2

C1

D-2

正确答案

B

解析

解:f(x)=,f(f(1))=8,

f(1)=lg1=0,

f(f(1))=f(0)=0=t3=a3=8,

解得a=2.

故选:B.

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