- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知函数f（x）=
（1）在坐标系内画出函数f（x）大致图象；
（2）分别求出f（a2+1）（a∈R），f（f（3））的值；
（3）当-4≤x＜3时，求f（x）取值的集合．
正确答案
（2）∵a2+1≥1，
∴f（a2+1）=4-（a2+1）2=3-2a2-a4，（a∈R），
因f（3）=-5，
∴f（f（3））=f（-5）=1-2×（-5）=11；
（3）由图象得：当-4≤x＜3时，
f（x）的最大值为9，最小值为-5（但不能取到）
∴f（x）取值的集合（-5，9]．
解析
（2）∵a2+1≥1，
∴f（a2+1）=4-（a2+1）2=3-2a2-a4，（a∈R），
因f（3）=-5，
∴f（f（3））=f（-5）=1-2×（-5）=11；
（3）由图象得：当-4≤x＜3时，
f（x）的最大值为9，最小值为-5（但不能取到）
∴f（x）取值的集合（-5，9]．
在数列{an}中，设S0=0，Sn=a1+a2+a3+…+an，其中ak=
正确答案
解析
解：∵数列{an}中，设S0=0，Sn=a1+a2+a3+…+an，
ak=
∵S1-1=S0=0＜1，
∴a1=1，
∵S2-1=S1=1＜2，
∴a2=2，
∵S3-1=S2=1+3=3，
∴a3=-3，
同理，a4=4，a5=5，a6=-6，a7=7，a8=-8，
a9=9，a10=-10，a11=11，a12=-12，a13=13，a14=14，
∵n≤14，
S12=1+2+（-3）+4+5+（-6）+7+（-8）+9+（-10）+11+（-12）=0，
∴Sn=0的n的最大值为12．
故选：B．
（2015秋•天水校级期末）已知函数f（x）=5-2|x|，g（x）=x2-2x，F（x）=
A最大值为5-2
B最大值为5-2
C最大值为3，无最小值
D既无最大值，又无最小值
正确答案
解析
若x≥0时，5-2|x|=x2-2x等价为5-2x=x2-2x，
即x2=5，解得x=
若x＜0时，5-2|x|=x2-2x等价为5+2x=x2-2x，
即x2-4x-5=0，
解得x=-1或x=5（舍去）．
即当x≤-1时，F（x）=f（x）=5+2x，
当-1＜x＜
当x
则由图象可知当x=-1时，F（x）取得最大值F（-1）=f（-1）=5-2=3，无最小值．
故选C．
（2015秋•慈溪市校级期中）计算：（1）
（2）设f（x）=
正确答案
2
解析
解：（1）原式=
（2）当x＜0时，f（x）=f（x+1）+2，
∴原式=
故答案为：2；
函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵函数f（x）=
∴当x为有理数时，-x必为有理数，此时f（-x）=f（x）=1；当x为无理数时，-x必为无理数，此时f（-x）=f（x）=0．故A：f（x）是偶函数正确；
对于任意的有理数T，当x为有理数时，x+T必为有理数，此时f（x+T）=f（x）=1；当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f（x+T）=f（x）=0，即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故B：f（x）是周期函数正确；
若为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此时无满足条件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解为任意有理数，故C错误；
若x为有理数，则方程f（f（x））=f（1）=1，此时x=1；若x为无理数，则方程f（f（x））=f（0）=1，此时无满足条件的x，故D：方程f（f（x））=x的解为x=1正确．
故选C．
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