- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知f（x）=
（1）求f[f（0）]；
（2）若f（a）=3，求a．
正确答案
解：（1）由分段函数可得f（0）=0+2=2，
则f[f（0）]=f（2）=
（2）①若a＜2，则a+2=3，解得a=1；
②若a≥2，则
解得a=±
综上，a=1或
解析
解：（1）由分段函数可得f（0）=0+2=2，
则f[f（0）]=f（2）=
（2）①若a＜2，则a+2=3，解得a=1；
②若a≥2，则
解得a=±
综上，a=1或
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：当x＜1时，y=2x2-4x+3，对称轴为x=1，（-∞，1）为减区间，
当x≥1时，y=
且x→1，y→1，又x=1，y=1，
∴y=f（x）在R上递减，
∵f（3-a2）＜f（a2+1），
∴3-a2＞a2+1，
∴-1＜a＜1．
故选C．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：①当x＞0时，
f（-x）＞f（x）可化为
解得，x∈（0，1）；
②当x＜0时，
f（-x）＞f（x）可化为
log2（-x）＞
解得，-x∈（1，+∞）；
故x∈（-∞，-1）；
综上所述，x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）；
故选C．
已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，请说明理由
（2）若函数在区间[3，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）的表达式．
正确答案
解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得f（x）=
即若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，满足条件．
若a＞0，则函数在（-∞，
若函数在区间[3，+∞）上单调递增，则0＜a≤3，
若a＜0，则函数在（-∞，a]和[
此时函数在区间[3，+∞）上单调递增，恒成立，
综上a≤3．
（3）若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，则函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．
若a＞0，则函数在（-∞，
若a≤1，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，
若1＜a＜2，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．
若1≤
若
若a＜0，则函数在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．
解析
解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得f（x）=
即若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，满足条件．
若a＞0，则函数在（-∞，
若函数在区间[3，+∞）上单调递增，则0＜a≤3，
若a＜0，则函数在（-∞，a]和[
此时函数在区间[3，+∞）上单调递增，恒成立，
综上a≤3．
（3）若a=0，则函数f（x）=x|x|为增函数，则函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．
若a＞0，则函数在（-∞，
若a≤1，函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，
若1＜a＜2，函数f（x）在区间[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．
若1≤
若
若a＜0，则函数在[1，2]上为增函数，则最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．
设函数g（x）=x+
正确答案
（-∞，0）∪[2
解析
解：当x＜g（x）即x＜x+
=2（x+1）+
当x≥g（x）即x≥x+
则f（x）的值域为（-∞，0）∪[2
故答案为：（-∞，0）∪[2
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