分段函数模型的应用
共567题

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分段函数模型的应用
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题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=，若f（f（m））≥0，则实数m的取值范围是______．

正确答案

[-4，4]

解析

解：令t=f（m），即有f（t）≥0，

即为或，

解得-3≤t＜-1或-1≤t≤1，

即为-3≤t≤1，

即为或，

解得-4≤m＜-1或-1≤m≤4，

即为-4≤m≤4．

故答案为：[-4，4]．

题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=，如果f（x0）=2，那么实数x0的值为______．

正确答案

1或-2

解析

解：函数f（x）=，f（x0）=2，

所以2x=2，（x≥0），就是x=1．

-x=2，即x=-2．

故答案为：1或-2．

题型：填空题

填空题

已知a＞0，函数f（x）=，若f（t-）＞-，则实数t的取值范围为______．

正确答案

（-，+∞）

解析

解：①当-1≤t-＜0时，f（t-）=sin[（t-）]＞-，

∴-+2kπ＜（t-）＜+2kπ，

∴-+4k＜t-＜+4k（k∈Z）．

又∵-1≤t-＜0，∴-＜t-＜0，解得-＜t＜．

②当t-≥0时，f（t-）=a（t-）2+a（t-）+1＞-，及a＞0，恒成立，

∴t≥．

综上可知：实数t的取值范围为（-，+∞）．

故答案为：（-，+∞）．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=．

（1）求函数f（x）的值域与单调递增区间；

（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）当0≤x≤π时，f（x）=sinx+=2sin（x+），

此时≤x+≤，则2sin≤f（x）≤2sin，

即-≤f（x）≤2，

当-π≤x＜0时，f（x）=|cos2x-sin2x|=|cos2x|，

则-2π≤2x＜0，则0≤f（x）≤1，

综上-≤f（x）≤2，即函数f（x）的值域为[-，2]，

当≤x+≤，即0≤x≤时，函数递增，

当-π≤x＜0时，由图象知，函数的递增区间为[，]，[-，0），

综上函数f（x）的单调递增区间为[0，]，[，]，[-，0）；

（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，

即f（x）-m=0，至少有两个根，

即f（x）=m至少有两个根，

则函数f（x）与y=m的图象至少有两个交点，

由图象知当0≤m≤1或≤m＜2，

即实数m的取值范围是0≤m≤1或≤m＜2．

解析

解：（1）当0≤x≤π时，f（x）=sinx+=2sin（x+），

此时≤x+≤，则2sin≤f（x）≤2sin，

即-≤f（x）≤2，

当-π≤x＜0时，f（x）=|cos2x-sin2x|=|cos2x|，

则-2π≤2x＜0，则0≤f（x）≤1，

综上-≤f（x）≤2，即函数f（x）的值域为[-，2]，

当≤x+≤，即0≤x≤时，函数递增，

当-π≤x＜0时，由图象知，函数的递增区间为[，]，[-，0），

综上函数f（x）的单调递增区间为[0，]，[，]，[-，0）；

（2）若函数g（x）=f（x）-m至少有两个零点，

即f（x）-m=0，至少有两个根，

即f（x）=m至少有两个根，

则函数f（x）与y=m的图象至少有两个交点，

由图象知当0≤m≤1或≤m＜2，

即实数m的取值范围是0≤m≤1或≤m＜2．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=

（Ⅰ）若a=-1，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）=x2+2x+3，其单调递增区间为[-1，0]；

x＞0时，f（x）=x2e-x，∴f′（x）=-x2e-x（x-2）

令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），

∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，0]和（0，2）；

（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，等价于函数f（x）的值取遍每一个正数．

注意到x≤0时，f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，

∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．

x＞0时，f′（x）=xeax（ax+2）

①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；

②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜-，令f′（x）＜0，可得x＞-，

∴函数在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上递减，

∴f（x）max=f（-）=，

∴（x）的值域为（0，]，

∴（0，]⊃（0，2），

∴≥2，

∴-≤a＜0，

综上，实数a的取值范围是[-，+∞）．

解析

解：（Ⅰ）x≤0时，f（x）=x2+2x+3，其单调递增区间为[-1，0]；

x＞0时，f（x）=x2e-x，∴f′（x）=-x2e-x（x-2）

令f′（x）＞0，可得x＜2，∴单调递增区间为（0，2），

∴函数f（x）的单调递增区间为[-1，0]和（0，2）；

（Ⅱ）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）=m恒有实数解，等价于函数f（x）的值取遍每一个正数．

注意到x≤0时，f（x）=x2+2x+3=（x+1）2+2≥2，

∴x＞0时，f（x）的值域必须包含（0，2）．

x＞0时，f′（x）=xeax（ax+2）

①a≥0，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上递增，f（x）的值域为（0，+∞），符合题意；

②a＜0，f′（x）＞0，可得0＜x＜-，令f′（x）＜0，可得x＞-，

∴函数在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上递减，

∴f（x）max=f（-）=，

∴（x）的值域为（0，]，

∴（0，]⊃（0，2），

∴≥2，

∴-≤a＜0，

综上，实数a的取值范围是[-，+∞）．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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