- 分段函数模型的应用
- 共567题
设f（x）=|x+1|+|ax+1|
（1）若f（-1）=f（1），f（-
（2）设a＞0，求f（x）的最小值．
正确答案
解：（1）f（-1）=f（1），f（-
|1-a|=2+|a+1|，|1-
由|1-a|-|1+a|≤|（1-a）+（1+a）|=2，当（1-a）（1+a）≤0，且|1-a|≥|1+a|，
即为a≤-1，取得等号；
同理|1-
解得a=-1；
（2）由f（x）=|x+1|+|ax+1|，a＞0，
当a=1时，f（x）=2|x+1|，当x=-1时，取得最小值0；
当0＜a＜1时，f（x）=
可得当x≤-
当x≥-1时，f（x）≥1-a．
则f（x）≥1-a，即有f（-1）取得最小值，且为1-a；
当a＞1时，若x＜-1时，f（x）=-2-（1+a）x，递减，可得f（x）＞-1+a；
若-1≤x≤-
若x＞-
即有f（x）≥
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的最小值为f（-1）=1-a；
a＞1时，f（x）的最小值为f（-
解析
解：（1）f（-1）=f（1），f（-
|1-a|=2+|a+1|，|1-
由|1-a|-|1+a|≤|（1-a）+（1+a）|=2，当（1-a）（1+a）≤0，且|1-a|≥|1+a|，
即为a≤-1，取得等号；
同理|1-
解得a=-1；
（2）由f（x）=|x+1|+|ax+1|，a＞0，
当a=1时，f（x）=2|x+1|，当x=-1时，取得最小值0；
当0＜a＜1时，f（x）=
可得当x≤-
当x≥-1时，f（x）≥1-a．
则f（x）≥1-a，即有f（-1）取得最小值，且为1-a；
当a＞1时，若x＜-1时，f（x）=-2-（1+a）x，递减，可得f（x）＞-1+a；
若-1≤x≤-
若x＞-
即有f（x）≥
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的最小值为f（-1）=1-a；
a＞1时，f（x）的最小值为f（-
f（x）=
A
B
C-
D-
正确答案
解析
解：由题意，f（x）=1满足方程[f（x）]3-
∴c=
∴[f（x）]3-
∴[f（x）-1][f（x）-2][f（x）-
∴f（x）=1或2或
由
∴所有非零实根之积为
故选C．
某公司生产某种产品的固定成本为2万元，每生产一件产品增加投入150元，已知收益T（单位：元）满足T（x）=
（Ⅰ）将利润W表示成月产量x的函数；
（Ⅱ）当月产量为多大时，公司的月利润最大？（收益=成本+利润）
正确答案
解：（I）当0≤x≤400 时，W=450x-
当x＞400 时，W=100000-20000-150x=-150x+80000；
综上所述：W=
（II）当0≤x≤400时，f（x）=-
∴当x=300 时，f（x）max=25000；
当x＞400 时，f（x）=-150x+80000 是减函数，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
综上所述，当x=300 时，Wmax=25000．
所以，当月产量为250台时，公司获得的月利润最大．
解析
解：（I）当0≤x≤400 时，W=450x-
当x＞400 时，W=100000-20000-150x=-150x+80000；
综上所述：W=
（II）当0≤x≤400时，f（x）=-
∴当x=300 时，f（x）max=25000；
当x＞400 时，f（x）=-150x+80000 是减函数，
∴f（x）＜-150×400+80000=20000；
综上所述，当x=300 时，Wmax=25000．
所以，当月产量为250台时，公司获得的月利润最大．
已知f（x）=
正确答案
解析
解：令31-x=2，∴1-x=log32．∴x=1-log32．
又∵log32＜log33=1，∴x=1-log32＞0．
∴这个实根符合题意．
令x2+4x+3=2，则x2+4x+1=0．
解得两根x1=-2-
x1和x2均小于0，符合题意．
故选D
函数y=
正确答案
6
解析
解：∵函数y=
∴当x≤0，y≤5；当0＜x≤1时，5＜y≤6；当x＞1时，y＜6．
∴函数的值域为：（-∞，6]，
当且仅当x=1时，取最大值6．
故答案为：6．
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