- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知函数f（x）=
①画出f（x）的图象，并指出函数f（x）的定义域和值域；
②若f（a）=
正确答案
函数的定义域为R，值域为R．
②f（a）=
则a=-
故a=±
解析
函数的定义域为R，值域为R．
②f（a）=
则a=-
故a=±
已知函数f（x）=
正确答案
（2，2014）
解析
解：当0≤x＜1时，函数f（x）=sinπx的对称轴为x=
当x=1时，由log2013x=1，解得x=2013．
若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，
因为f（a）=f（b）=f（c），
所以由图象可知0
且
所以a+b+c=1+c，
因为1＜c＜2013，
所以2＜1+c＜2014，
即2＜a+b+c＜2014，
所以a+b+c的取值范围是（2，2014）．
故答案为：（2，2014）．
求|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值及此时x的值．
正确答案
解：（1）当x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x，
则x=1时，有最小值40；
（2）当1＜x≤2时，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x，
则x=2时，有最小值27；
（3）当2＜x≤3时，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x，
则x=3时，有最小值18；
（4）当3＜x≤4时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x，
则x=4时，有最小值15；
（5）当4＜x≤5时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5，
则y没有最小值；
（6）当x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55，
则y没有最小值；
故当x=4时，|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值为15．
解析
解：（1）当x≤1，原式=1-x+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=55-15x，
则x=1时，有最小值40；
（2）当1＜x≤2时，原式=x-1+2（2-x）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=53-13x，
则x=2时，有最小值27；
（3）当2＜x≤3时，原式=x-1+2（x-2）+3（3-x）+4（4-x）+5（5-x）=45-9x，
则x=3时，有最小值18；
（4）当3＜x≤4时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（4-x）+5（5-x）=27-3x，
则x=4时，有最小值15；
（5）当4＜x≤5时，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（5-x）=5x-5，
则y没有最小值；
（6）当x＞5，原式=x-1+2（x-2）+3（x-3）+4（x-4）+5（x-5）=15x-55，
则y没有最小值；
故当x=4时，|x-1|+2|x-2|+3|x-3|+4|x-4|+5|x-5|的最小值为15．
设函数f（x）=
A[
B[0，1]
C[
D[1，+∞）
正确答案
解析
解：令f（a）=t，
则f（t）=2t，
当t＜1时，3t-1=2t，
由g（t）=3t-1-2t的导数为g′（t）=3-2tln2，
在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）递增，
即有g（t）＜g（1）=0，
则方程3t-1=2t无解；
当t≥1时，2t=2t成立，
由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥
或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．
综上可得a的范围是a≥
故选C．
已知实数a≠0，函数f（x）=
（1）若a=-3，求f（10），f（f（10））的值；
（2）若f（1-a）=f（1+a），求a的值．
正确答案
解：（1）若a=-3，则f（x）=
所以f（10）=-4，f（f（10））=f（-4）=-11．
（2）当a＞0时，1-a＜1，1+a＞1，
所以2（1-a）+a=-（1+a）-2a，解得a=-
当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1，
所以-（1-a）-2a=2（1+a）+a，解得a=-
综上可知，a=-
解析
解：（1）若a=-3，则f（x）=
所以f（10）=-4，f（f（10））=f（-4）=-11．
（2）当a＞0时，1-a＜1，1+a＞1，
所以2（1-a）+a=-（1+a）-2a，解得a=-
当a＜0时，1-a＞1，1+a＜1，
所以-（1-a）-2a=2（1+a）+a，解得a=-
综上可知，a=-
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