- 分段函数模型的应用
- 共567题
（I）求函数h（a）的解析式；
（II）画出函数y=h（x）的图象并指出y=h（x）的最小值．
正确答案
（1）当a＜0时，函数g（x）是[1，3]增函数，此时，
g（x）max=g（3）=2-3a，
g（x）min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a．
（2）当a＞1时，函数g（x）是[1，3]减函数，此时，
g（x）min=g（3）=2-3a，
g（x）max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1．
（3）当0≤a≤1时，若x∈[1，2]，则g（x）=1-ax，有
g（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，则g（x）=（1-a）x-1，有g（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）min=g（2）=1-2a，
而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故当0≤a≤
当
综上所述：h（a）=
（II）画出y=h（x）的图象，如图：数形结合，可得 
解析
（1）当a＜0时，函数g（x）是[1，3]增函数，此时，
g（x）max=g（3）=2-3a，
g（x）min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a．
（2）当a＞1时，函数g（x）是[1，3]减函数，此时，
g（x）min=g（3）=2-3a，
g（x）max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1．
（3）当0≤a≤1时，若x∈[1，2]，则g（x）=1-ax，有
g（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，则g（x）=（1-a）x-1，有g（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）min=g（2）=1-2a，
而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故当0≤a≤
当
综上所述：h（a）=
（II）画出y=h（x）的图象，如图：数形结合，可得
函数f（x）=
正确答案
解析
解：
若P={1}，M={-1}
则f（P）={1}，f（M）={1}
即∃P，M，使f（P）=f（M）
故①对
若P={非负实数}，M={负实数}
则f（P）={非负实数}，f（M）={正实数}
则f（P）∪f（M）≠R．
故②错
若P={非负实数}，M={正实数}
则f（P）={非负实数}，f（M）={负实数}
则f（P）∪f（M）=R．
故③错
故正确的只有：①．
故选：B．
已知
正确答案
[2，+∞）
解析
解：当x≤1时，f（x）-ex-m≤0即为m≥x+3-ex，
可令g（x）=x+3-ex，则g′（x）=1-ex，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）递增．g（x）在x=0处取得极大值，也为最大值，且为2，
则有m≥2 ①
当x＞1时，f（x）-ex-m≤0即为m≥-x2+2x+3-ex，
可令h（x）=-x2+2x+3-ex，h′（x）=-2x+2-ex，由x＞1，则h′（x）＜0，
即有h（x）在（1，+∞）递减，则有h（x）＜h（1）=4-e，
则有m≥4-e ②
由①②可得，m≥2成立．
故答案为：[2，+∞）．
已知函数f（x）=
正确答案
[-4，0]
解析
解：画出y=|f（x）|和y=ax-1的图象，
当a=0时，y=-1，显然成立；
当a＜0，且直线y=ax-1与y=x2-2x（x＜0）相切，
即x2-（2+a）x+1=0，判别式为（2+a）2-4=0，
解得a=0（舍去），a=-4，
即有-4≤a＜0．
∴|f（x）|≥ax-1恒成立，则实数a的取值范围是
[-4，0]．
故答案为：[-4，0]．
已知函数f（x）=
①函数f（x）对任意x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2成立
②函数f（x）在[
③函数y=f（x）-log2x+1在（0，+∞）上有3个零点；
④当k∈[
其中正确的说法的个数是（ ）
正确答案
解析
解：作函数f（x）=
由图可知，
①函数f（x）对任意x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≤2成立，正确；
②函数f（x）在（2n，2n+
③函数y=f（x）-log2x+1在（0，+∞）上有3个零点即y=f（x）与y=log2x-1的交点个数，
作y=f（x）与y=log2x-1的图象如下，
没有交点，故没有零点；故不正确；
④f（x）≤
当k∈[
故选D．
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