- 分段函数模型的应用
- 共567题
已知函数f（x）=|x-1|+|x+2|
（Ⅰ）作出函数f（x）的图象（不要求写作法）；
（Ⅱ）若不等式9a2+1≥|a|f（x）对a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，求实数x的取值范围．
正确答案
作出函数f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）不等式9a2+1≥|a|f（x）对a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即有f（x）≤9|a|+
由9|a|+
即有|x-1|+|x+2|≤6，
即为
即为1≤x≤
解得-
则实数x的取值范围为[-
解析
作出函数f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）不等式9a2+1≥|a|f（x）对a∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即有f（x）≤9|a|+
由9|a|+
即有|x-1|+|x+2|≤6，
即为
即为1≤x≤
解得-
则实数x的取值范围为[-
已知函数f（x）=
正确答案
5
解析
解：由题意可得F（x）=0有3个实数根，
而
所以必含有1这个根．
令
解得x=2或x=0，
所以x12+x22+x32═02+12+22=5．
故答案为：5．
已知函数
正确答案
解析
解：由题意，
∴a＜-1
∴实数a的取值范围为（-∞，-1）
故选B．
某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化．老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t∈（0，40]，设上课开始时，t=0）：
f（t）=
（1）求a的值；
（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？
（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？
正确答案
解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，
即100•
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；
（3）①当0＜t≤10时，
由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，
②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；
③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，
故20＜t≤
综上所述，5≤t≤
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持
解析
解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，
即100•
解得，a=4；
（2）f（5）=140，f（35）=-15×35+640=115，
由于f（5）＞f（35），
故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；
（3）①当0＜t≤10时，
由（1）知，f（t）≥140的解集为[5，10]，
②当10＜t≤20时，f（t）=340＞140，成立；
③当20＜t≤40时，-15t+640≥140，
故20＜t≤
综上所述，5≤t≤
故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵f（1）=2，f（-1）=-sin1，∴f（-1）≠-f（1），且f（-1）≠f（1），即函数f（x）为非奇非偶函数．故A错误；
当x≤0函数f（x）不单调，故B错误；
当x≤0时，函数具备周期性，当x＞0时，函数单调递增，函数不具备周期性．故C错误；
当x≤0时，-1≤sinx≤1，
当x＞0时，函数单调递增，此时f（x）＞f（0）=1，
综上f（x）≥-1，即f（x）的值域为[-1，+∞），故D正确．
故选：D．
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