- 分段函数模型的应用
- 共567题
某公司是一家专做某产品国内外销售的企业，第一批产品在上市40天内全部售完，该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查，其调查结果如下：图①中的折线是国内市场的销售情况；图②中的抛物线是国外市场的销售情况；图③中的折线是销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．
（1）求该公司第一批产品日销售利润Q（t）（单位：万元）与上市时间t（单位：天）的关系式，
（2）求该公司第一批新产品上市后，从哪一天开始国内市场日销售利润不小于国外市场？
正确答案
解：（1）由图①得函数的解析式为：f（t）=
设国外市场的日销售量g（t）=at（t-40），
g（20）=20a•（-20）=60，解得a=-
则g（t）=-
设每件产品A的销售利润为q（t），
则q（t）=
从而这家公司的日销售利润Q（t）的解析式为：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]
=
（2）由题意可得国内外销售利润q（t）与上市时间t相同，
要使国内市场日销售利润不小于国外市场，
只需国内市场销售量f（t）不小于国外市场日销售量g（t）．
①当0≤t≤30时，令f（t）≥g（t），则2t≥-
②当30＜t≤40时，令h（t）=f（t）-g（t）=
由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．
由①②可得该公司第一批新产品上市后，
从27开始国内市场日销售利润不小于国外市场．
解析
解：（1）由图①得函数的解析式为：f（t）=
设国外市场的日销售量g（t）=at（t-40），
g（20）=20a•（-20）=60，解得a=-
则g（t）=-
设每件产品A的销售利润为q（t），
则q（t）=
从而这家公司的日销售利润Q（t）的解析式为：Q（t）=q（t）•[f（t）+g（t）]
=
（2）由题意可得国内外销售利润q（t）与上市时间t相同，
要使国内市场日销售利润不小于国外市场，
只需国内市场销售量f（t）不小于国外市场日销售量g（t）．
①当0≤t≤30时，令f（t）≥g（t），则2t≥-
②当30＜t≤40时，令h（t）=f（t）-g（t）=
由h（t）≥h（40）=0，可得30＜t≤40．
由①②可得该公司第一批新产品上市后，
从27开始国内市场日销售利润不小于国外市场．
已知函数f（x）=
正确答案
3或-5
解析
解：令x2+1=10，
解得，x=3或x=-3（舍去）；
令-2x=10，解得，x=-5；
故答案为：3或-5．
设f（x）=
正确答案
解：∵
又
∴f（
解析
解：∵
又
∴f（
已知函数f（x）=
A（0，
B[
C（0，
D[
正确答案
解析
解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，
∴y=f（x）与y=ax有2个交点，
又∵a表示直线y=ax的斜率，
∴y′=
设切点为（x0，y0），k=
∴切线方程为y-y0=
而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=
∴直线l1的斜率为
又∵直线l2与y=
∴直线l2的斜率为
∴实数a的取值范围是[
故选：B．
德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=
正确答案
解析
解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0
∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；
当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=-
∴A（
故选：D．
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