正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2a＋c)··＋c·＝0.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2，试求·的最小值．

正确答案

（1）（2）－2

(1)因为(2a＋c)·＋c·＝0，

所以(2a＋c)accosB＋abccosC＝0，

即(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，

所以(2sinA＋sinC)cosB＋sinBcosC＝0，

即2sinAcosB＋sin(B＋C)＝0.

因为sin(B＋C)＝sinA≠0，

所以cosB＝－，所以B＝.

(2)因为b2＝a2＋c2－2accos，所以12＝a2＋c2＋ac≥3ac，即ac≤4，

所以·＝accos＝－ac≥－2，当且仅当a＝c＝2时等号成立，

所以·的最小值为－2.

题型：填空题

填空题

在中，，，则的最小值为 .

正确答案

试题分析：由余弦定理得

所以等号当且仅当取得.

题型：填空题

填空题

设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

①若；则

②若；则

③若；则

④若；则

⑤若；则

正确答案

①②⑤

由余弦定理得，当，，所以，故①正确；当；；故②正确；若，则，根据余弦定理得，故③不正确；若，则，同理得④不正确；假设⑤由,得0

∴,∴C<π/2 .正确.

题型：填空题

填空题

已知a、b、c是△ABC的三边，且B＝120°，则a2＋ac＋c2－b2＝________.

正确答案

利用余弦定理，再变形即得答案．

题型：填空题

填空题

已知、、分别为△的三个内角、、所对的边，若，，，则边；

正确答案

试题分析：因为，，，，所以，由余弦定理得，即，，解得，。

点评：中档题，利用余弦定理，建立边c的方程，进一步求解，注意避免失解。

题型：填空题

填空题

某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.

正确答案

如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.

在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.

由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，

即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，

∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．

题型：简答题

简答题

（本小题满分8分）在中，分别为内角的对边，且

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，试求内角B、C的大小.

正确答案

解：（Ⅰ）∵

由余弦定理得

故 -----------------4分

（Ⅱ）∵，

∴， ----------------5分

∴，

∴ ----------------6分

又∵为三角形内角， ----------------7分

故. -----------------8分

略

题型：简答题

简答题

（本题满分12分）已知ΔABC的面积为，AB=2，。求ΔABC的周长。

正确答案

，由余弦定理得

。联立解得a=b=3,所以周长=6

略

题型：填空题

填空题

ΔABC中，B=120º，AC=3，AB=，则ΔABC的面积为．

正确答案

试题分析：由余弦定理得：，负值舍去.所以.

所以ΔABC的面积为.

题型：简答题

简答题

在中，角所对的边分别为，，向量，且。

（1）求角；

（2）求面积的最大值。

正确答案

（1）（2）

试题分析：解：（1），，

化简得，

即,因，故,又，

所以 .6分

（2）由余弦定理得，，故

当时取等号；面积，

当时面积有最大值。 13分

点评：主要是借助于向量的数量积公式得到三角函数关系式，然后根据正弦定理和余弦定理来求解，属于基础题。

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