正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=，sinB=

（1）求A+B的值；

（2）若a-b=-1，求a、b、c的值．

正确答案

（1）∵△ABC中，A、B为锐角，

∴A+B∈（0，π），

又sinA=，sinB=，

∴cosA=，cosB=，

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=•-•=，

∴A+B=．

（2）∵sinA=，sinB=，

∴由正弦定理=得：=，

∴a=b，又a-b=-1，

∴b=1，a=．

又C=π-（A+B）=π-=，

∴c2=a2+b2-2abcosC=2+1-2×1××（-）=5．

∴c=．

综上所述，a=，b=1，c=．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，△ABC的面积是30，内角A，B，C，所对边长分别为a，b，c，cosA=．

（1）求c•b；

（2）若c-b=1，求a的值．

正确答案

（1）在△ABC中，内角A，B，C，由cosA=，得sinA==．

又b•c•sinA=30，∴b•c=156．

（2）由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cosA

=（c-b）2+2bc（1-cosA）

=1+2•156•（1-）

=25，

∴a=5．

题型：填空题

填空题

已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a2+3b2-3c2+2ab═0，则tan C=______．

正确答案

△ABC中，∵3a2+3b2-3c2+2ab=0，∴cosC===-，

∴sinC==，

故tanC==-2，

故答案为 -2．

题型：简答题

简答题

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．tanA=．

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）由余弦定理知，b2+c2-a2=2bccosA，

∴tanA=⇒sinA=，

∵A∈(0，)，

∴A=；

（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且B+C=，

∴＜B=-C＜，

∴cosB+cosC=cosB+cos(-B)

=cosB+coscosB+sinsinB

=cosB+sinB=sin(B+)，

∵＜B+＜，

∴＜sin(B+)≤1，

即cosB+cosC的取值范围是(，1]．

题型：简答题

简答题

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量=（4，-1）=(cos2，cos2A)，且•=．

（1）求角A的大小；

（2）若a=，试判断b×c取得最大值时△ABC形状．

正确答案

（1）由 =(4，-1) ， =(cos2 ，cos2A)

•=4cos2-cos2A（1分）

=4--(2cos2A-1)=-2cos2A+2cosA+3（3分）

又因为•=．所以-2cos2A+2cosA+3 =

解得cosA=（5分）

∵＜A＜π ，∴ A=（6分）

（2）在△ABC中a2=b2+c2-2bccosA且a=，

∴（）2=b2+c2-bc．（8分）

∵b2+c2≥2bc，∴3≥2bc-bc

即 bc≤3当且仅当 b=c=时，bc取得最大值，（10分）

又由（1）知 A=60°∴B=C=60°

故 bc取得最大值时，△ABC为等边三角形．（12分）

题型：简答题

简答题

△ABC，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且=-．

（1）求角B的大小；

（2）若b=，a+c=4，求a与S△．

正确答案

（1）根据余弦定理得：cosB=，cosC=，由=-得

=-化简得a（a2+c2-b2）=0，因为a≠0，所以a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理得∠B=90°

（2）把a+c=4两边平方得：a2+2ac+c2=16，

因为a2+c2=b2=(

)2=13，

所以ac=，

所以s△==；

把c=4-a代入a2+c2=b2=(

)2=13，

得a2+（a-4）2=13，

因为a＞0，则a=

题型：填空题

填空题

在△ABC中，A=120°，b=1，面积为，则=______．

正确答案

由A=120°，b=1，面积为，

得到S=bcsinA=c•=，解得c=4，

根据余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=1+16+4=21，解得a=，

根据正弦定理得：===，

则===2．

故答案为：2

题型：填空题

填空题

在△ABC中，若tanA=，C=150°，BC=1，则AB=（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

已知向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），函数f（x）=（+）•．

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

正确答案

∵向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），

∴+=（sinx+cosx，-），

由此可得f（x）=（+）•=sinx（sinx+cosx）+=sin2x+sinxcosx+

∵sin2x=，sinxcosx=sin2x

∴f（x）=sin2x-cos2x+2=sin（2x-）+2

（1）根据三角函数的周期公式，得周期T==π；

（2）f（A）=sin（2A-）+2，当A∈[0，]时，f（A）的最大值为f（）=3

∴锐角A=，根据余弦定理，得cosA==，可得b2+c2-a2=bc

∵a=2，c=4，

∴b2+16-12=4b，解之得b=2

根据正弦定理，得△ABC的面积为：S=bcsinA=×2×4sin=2．

题型：简答题

简答题

已知向量=(cosx，-1)，向量=(sinx，-)，函数f(x)=(+)•．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；

（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．

正确答案

（Ⅰ）∵+=（cosx+sinx，-）

∴（+）•=cosx（cosx+sinx）+=（1+cos2x）+sin2x+…（2分）

∴f（x）=（1+cos2x）+sin2x+=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2…（5分）．

∴f（x）的最小正周期T==π．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+）+2

∵A为锐角，＜2A+＜

∴当2A+=时，即A=时，f（x）有最大值3，…（8分）

由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，

∴1=b2+3-2××b×cos，∴b=1或b=2，…（10分）

∵△ABC的面积S=bcsinA

∴当b=1时，S=×1××sin=；当当b=2时，S=×2××sin=．…（12分）

综上所述，得A=，b=1，S△ABC=或A=，b=2，S△ABC=．

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