正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC+cosC=1-。

（1）求sinC的值；

（2）若a2+b2=4（a+b）-8，求边c的值。

正确答案

解：（1）由已知得，即

由得

即

两边平方得。

（2）由，得

即

则由得

由得

则

由余弦定理

所以。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c

（1）若，求A的值；

（2）若，求sinC的值．

正确答案

解：（1）因为，所以sinA=，

所以tanA=，所以A=60°

（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=

题型：简答题

简答题

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc，

求：（Ⅰ）A的大小；

（Ⅱ）2sinBcosC-sin（B-C）的值。

正确答案

解：(Ⅰ)由余弦定理，，

故，

所以；

(Ⅱ)

。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=，4-cos2C=，

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求△ABC的面积。

正确答案

解：（Ⅰ）∵A+B+C=180°，，

∴，

∴4cos2C-4cosC+1=0，解得，

∵0°＜C＜180°，

∴C=60°；

（Ⅱ）∵c2=a2+b2-2abcosC，

∴7=（a+b）2-3ab=25-3ab，得ab=6，

∴。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知。

（1）求的值；

（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面积S。

正确答案

解：（1）在中，由及正弦定理可得

即

则

而

则

即。

（2）由及可得

则，

即。

题型：简答题

简答题

设△ABC是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，并且sin2A= sin(+B)sin(-B)+sin2B，

(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)若，求b，c(其中b＜c)．

正确答案

解：(Ⅰ)因为

，

所以，

又A为锐角，所以。

(Ⅱ)由，可得cbcosA=12， ①

由(Ⅰ)知，所以cb=24， ②

由余弦定理知a2=c2+b2-2cbcosA，

将及①代入，得c2+b2=52， ③

③+②×2，得(c+b)2=100，所以c+b=10，

因此，c，b是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根，

解此方程并由c＞b知c=6，b=4。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f（x）==﹣﹣1=sin（2x﹣）﹣1，

∴f（x）的最小值为﹣2，最小正周期为π．

（Ⅱ）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即 sin（2C﹣）=1，

又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，

∴2C﹣=，

∴C=．

∵向量与共线，

∴sinB﹣2sinA=0．

由正弦定理，得 b=2a，①

∵c=3，由余弦定理得9=，②

解方程组①②，得 a= b=2．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=，

（Ⅰ）求+cos2A的值；

（Ⅱ）若a=，求bc的最大值。

正确答案

解：(Ⅰ)

；

(Ⅱ)∵，

∴，

又∵，

∴，当且仅当b=c=时，bc=，

故bc的最大值是。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且。

（1）求∠A；

（2）若a=7，△ABC的面积为，求b+c的值。

正确答案

解：（1）由得：，

化简，得，解得：，

∴。

（2）由题意，得，

∴

即b+c=13。

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x-cos2x-，x∈R。

（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量m=（1，sinA）与向量n=（2，sinB）共线，求a，b的值。

正确答案

解：（1）=

则f（x）的最小值是-2，最小正周期是；

（2）

则=1

∵

∴

∵向量与向量共线

∴

由正弦定理得， ①

由余弦定理得

即3= ②

由①②解得。

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